\documentclass[12pt]{article}
\usepackage{times}
\usepackage{setspace}
\usepackage[dvips]{graphics}
\usepackage[frenchb]{babel}
\usepackage{ucs}
\usepackage[utf8x]{inputenc}
\usepackage{amssymb,amsmath}

\title{ECO3022 : Macroéconomie III \\
Concurrence imparfaite sur le marché du travail et rigidité salariale}

\author{Steve Ambler et Alain Guay\thanks{Ces notes sont en cours de
    développement. Nous avons besoin de vos commentaires et de vos suggestions
    pour les améliorer. Vous pouvez nous faire part de vos commentaires en
    personne ou en envoyant un message à
    \href{mailto:guay.alain@uqam.ca}{\texttt{guay.alain@uqam.ca}}.} \\
  Département des sciences économiques \\
  École des sciences de la gestion \\
  Université du Québec à Montréal \\
  {\copyright} 2012 : Steve Ambler et Alain Guay}

\date{Automne 2012}

\usepackage[pdftex,bookmarks,colorlinks]{hyperref}

\doublespacing

\begin{document}

\maketitle

\newpage
\raggedright
\tableofcontents

\section{Introduction}

Objectifs du cours:
\begin{itemize}
\item Développer un modèle simple du marché du travail avec des syndicats qui
  établissent le salaire nominal tenant compte du fait qu'ils font face à une
  courbe de demande à pente négative (autrement dit, c'est un modèle avec
  concurrence imparfaite). Ce modèle peut être utilisé afin d'expliquer
  l'existence d'un taux de chômage positif à long terme, qui dépend de facteurs
  structurels.
\item Étudier leur incitation à modifier ce salaire si un choc modifie le
  salaire réel qui, de leur point de vue, serait optimal (en l'absence de coûts
  d'ajuster le salaire).
\item De cette façon, on veut justifier l'existence de rigidités salariales
  comme un équilibre où les syndicats n'ont pas une incitation à modifier le
  salaire nominal face à des chocs.
\item L'analyse va nous permettre de raisonner en termes de concurrence
  imparfaite, et de comprendre la méthodologie afin d'analyser le choix optimal
  d'un prix en concurrence imparfaite.
\item Nous allons faire appel à plusieurs concepts provenant de l'analyse du
  comportement optimal de l'invidu sous concurrence imparfaite: élasticité de la
  demande, marge ajoutée, etc. Je suggère fortement de réviser vos notes de
  cours d'un premier cours de microéconomie sur la concurrence imparfaite.
\item Le but ultime est de fournir les éléments de base de l'analyse de l'offre
  agrégée du modèle macroéconomique de base 
\end{itemize}

\sloppy
\section{Concurrence imparfaite et équilibre de long terme sur le
marché du travail}

Supposons une économie où il y a $n$ secteurs différents et que chaque secteur
est constitué d'une firme représentative produisant un produit différent. On va
de plus supposer que le travail est le seul facteur de production et qu'une
unité de travail produit une unité d'output: $Y_i = L_i$, pour le secteur
$i=1,\ldots, n$. Le coût marginal est donc égal au coût moyen qui est égal au
salaire pour chaque secteur. De plus, on suppose que la firme représentative de
chaque secteur fait face à une courbe de demande avec une élasticité-prix
constante et que cette élasticité-prix est la même pour chaque secteur. On dira
alors que les $n$ secteurs sont \textbf{symétriques}. Dans chaque secteur, il y
a une firme qui fait face à une fonction de demande à pente négative pour son
produit. On apprend en théorie microéconomique que le prix optimal d'une telle
firme est une \textbf{marge ajoutée} sur son coût marginal.\footnote{Si ce
  principe vous est complètement mystérieux, c'est le temps de réviser vos notes
  de cours de Microéconomie I ou de consulter un manuel de base en théorie
  microéconomique.} Dans cette économie, le coût marginal nominal de production
est donné par le salaire pour chaque secteur. Si $W$ est le salaire nominal
moyen à travers les secteurs de l'économie, le niveau moyen des prix $P$ 
peut être écrit comme une marge ajoutée sur ce salaire moyen:\footnote{Ce sera
  l'object d'un exercice.}
\begin{equation}
P = m^P W , \quad m^P > 1 \label{1}
\end{equation}
où $m^P$ est la marge ajoutée de la firme représentative. L'hypothèse d'une
demande à élasticité constante égale pour toutes les firmes donne une marge
ajoutée constante pour toutes les firmes.

On suppose que dans tous les secteurs il y a un syndicat qui est suffisamment fort
pour pouvoir dicter le salaire nominal. Une fois qu'il fixe le salaire nominal,
il fournit la quantité demandée d'heures à la firme dans le secteur. On suppose
une fonction objectif donnée par
\begin{equation}
\Omega = \left( \frac{W_i}{P} - v \right) L_i \label{2}
\end{equation}
ou $L_i$ est le niveau d'emploi, $W_i$ est le salaire nominal dans le secteur,
$v$ est le coût d'opportunité des travailleurs syndiqués (ce qu'ils peuvent
gagner en travaillant ailleurs s'ils ne trouvent pas un emploi dans le
secteur). $\left( \frac{W_i}{P} - v \right)$ est une mesure du surplus par
travailleur.

La demande de travail est donnée par
\begin{equation}
L_i = \frac{L}{n} \left( \frac{W_i}{W} \right)^{-\sigma}
= \frac{L}{n} \left( \frac{m^P W_i}{P} \right)^{-\sigma} \label{3}
\end{equation}
Il s'agit d'une fonction de la demande de travail où l'élasticité de demande est
constante et est donnée par $-\sigma$.\footnote{Tout le monde devrait être
  capable de montrer ceci.} La forme de la fonction dépend de notre hypothèse de
symétrie. Si le salaire du secteur est égal au salaire moyen dans l'économie, la
demande de travail est égale à la part du secteur dans l'emploi total (une
fraction $1/n$ de l'emploi total). Le problème du syndicat est donc le problème
d'un monopoleur qui doit maximiser sa fonction objectif sujet à sa courbe de
demande. Puisque le secteur $i$ est petit relativement au reste de l'économie,
le syndicat considère comme donné le coût d'opportunité $v$ et le niveau moyen
des prix $P$. En choisissant son salaire $W_i$, il choisit ainsi le salaire réel
dans son secteur $\frac{W_i}{P}$.

Maximiser $\Omega$ revient à maximiser $\ln \left( \Omega
\right)$.\footnote{Soyez certains de comprendre pourquoi. La fonction
  logarithmique est une transformation monotone de la fonction initiale. Donc,
  si on maximise le log on maximise alors la fonction elle-m\^eme. La raison de
  cette transformation est qu'elle simplifie l'algèbre.} On peut substituer
$L_i$ dans (\ref{2}) pour arriver à
\[
\ln \left( \Omega \right) =
\ln \left( \frac{W_i}{P} - v \right)
+ \ln \left( \frac{L}{n} \right)
- \sigma \ln \left( \frac{m^P W_i}{P} \right) .
\]
La condition d'optimalité pour maximiser le surplus est:
\[
\frac{\partial \ln \left( \Omega \right)}{\partial W_i} = 0
\]
\[
\Rightarrow \frac{1}{\frac{W_i}{P}-v} \frac{1}{P} - 
\sigma \frac{1}{\left( m^p W_i /P \right)}
\frac{m^p}{P} = 0
\]
\[
\Rightarrow \frac{1}{\frac{W_i}{P}-v} = \sigma \frac{P}{W_i}
\]
\[
\Rightarrow \left( \sigma-1 \right) \frac{W_i}{P} = \sigma v
\]
\begin{equation}
\Rightarrow \frac{W_i}{P} = \frac{\sigma}{\sigma-1}v \equiv m^w v ,
\label{4}
\end{equation}
où évidemment il faut que $\sigma > 1$.\footnote{Qu'est-ce qui arrive sinon?} Le
salaire optimal est une marge ajoutée sur le coût d'opportunité du travailleur
représentatif dans le secteur.

Supposons maintenant que:
\begin{equation}
v = \left( 1-u  \right) \frac{W}{P} + u b ,
\end{equation}
où $u$ est le taux de chômage et $b$ est ce que le travailleur peut gagner s'il
ne travaille pas. L'équation dit que le coût d'opportunité $v$ est donné par le
gain espéré de quelqu'un qui perd son emploi et qui a une probabilité $(1-u)$ de
trouver un emploi quelque part ailleurs dans l'économie et de gagner un salaire
\'egal au salaire moyen dans l'économie, soit $\frac{W}{P}$. Supposez aussi que
\[
w_i \equiv \frac{W_i}{P} , \qquad w \equiv \frac{W}{P} .
\]
Nous écrivons le salaire réel du secteur et le salaire réel moyen en
minuscules.

Nous avons:
\begin{equation}
w_i = m^w \left( (1-u) w + u b  \right) . \label{5}
\end{equation}
Si tous les secteurs sont identiques, le syndicat exigera le même salaire dans
chaque secteur, ce qui veut dire que $m^w$ est identique à travers
les secteurs, et donc $w_i=w$. Nous avons alors:
\[
w = m^w \left( (1-u) w + u b  \right)
\]
\begin{equation}
\rightarrow w = \frac{m^wu}{1-m^w\left( 1-u  \right)} b
= \frac{1}{1-\frac{m^w-1}{m^w} \frac{1}{u}}b. \label{6}
\end{equation}
Cette expression nous donne la courbe de salaire réel exigé par le
syndicat. Elle dépend du taux de chômage et des bénéfices au chômage. En
supposant que $u > \frac{m^w-1}{m^w}$, le salaire réel diminue si le chômage
augmente.

À l'équilibre, le salaire exigé par les syndicats doit être égal à celui offert
par les firmes. Nous savons à partir de l'équation (\ref{1}) que
\[
w = \frac{W}{P} = \frac{1}{m^p} .
\]
Substituant, nous obtenons
\[
\frac{1}{m^p} = \frac{m^wu}{1-m^w\left( 1-u  \right)} b .
\]
Isolant $u$, nous obtenons (après simplification):
\begin{equation}
u = \frac{m^w-1}{m^w - m^w m^p b} . \label{7}
\end{equation}
Cette équation est le résultat clé de cette section. D'abord, afin d'obtenir un
taux de chômage de long terme entre zéro et un, nous supposons que:
\[
m^w m^p b < 1 .
\]
Le taux de chômage dépend à long terme de facteurs reliés à l'offre agrégée: le
pouvoir de monopole des syndicats capté par $m^w$, le pouvoir de monopole des
firmes sur le marché des biens et services capté par $m^p$, et le coût
d'opportunité $b$ qui mesure la générosité du système de bien-être
social (et/ou le système d'assurance-chômage). Dans le cas où $\sigma
\rightarrow \infty$, nous avons le cas limite où l'élasticité de la demande de
travail par les firmes est infinie et la marge $m^w$ est unitaire --- c'est le
cas de la concurrence parfaite sur le marché du travail. Les travailleurs
reçoivent un salaire réel égal à leur productivité marginale. Dans ce cas, il
n'y a pas de chômage à long terme.

Le taux de chômage à long terme dépend de façon positive de $m^w$, de $m^p$ et
de $b$. Il existe donc un taux de chômage à long terme qui ne dépend pas
de rigidités nominales puisque le salaire nominal $W$ et le niveau des prix
$P$ peuvent varier librement. Ce taux de chômage à long terme est appel\'e
\og taux de ch\^omage naturel \fg{~} existe par la présence de rigidités
\textbf{réelles}. Sans ces rigidités réelles, et en particulier le pouvoir des
syndicats dans ce modèle, il n'y aurait pas de taux de chômage naturel. Ce
taux de chômage de long terme dépend seulement du côté de l'offre de
l'économie et non de la demande. À court terme, il y aura des fluctuations
du taux de chômage autour du taux naturel qui peuvent être dues à la
demande par l'entremise de rigidités nominales des prix et/ou des salaires
ainsi que par des problèmes d'information.\footnote{Cette analyse du chômage
  néglige d'autres sources possibles du chômage à long terme, comme la recherche
  d'emploi ou la pr\'esence de salaires d'efficience . Voir les chapitres 10 et 11 du manuel pour un traitement détaillé de ces
  questions.}

\section{Coûts d'ajustement, rigidité réelle et rigidité salariale}

Supposons maintenant une situation où, au départ, les syndicats choisissent de
façon optimale leur salaire. Le taux de chômage est donné par (\ref{7}). Un
choc (dont l'origine n'est pas spécifiée) arrive qui fait augmenter le taux de
chômage. On peut poser la question suivante: est-ce que les syndicats vont
ajuster tout de suite leur salaire s'ils doivent payer un coût fixe d'ajustement
pour le faire?

Ce que nous voulons montrer, c'est que le gain de modifier le salaire suite au
choc est faible. Ceci veut dire qu'en présence de coûts d'ajustement plutôt
faibles, un syndicat va choisir de ne pas modifier le salaire. Donc, on peut
expliquer ou justifier l'existence de rigidités nominales de salaire jumelée à
un comportement optimal des agents économiques.

Simplifions encore l'hypothèse concernant ce que le travailleur moyen peut
gagner s'il n'a pas un emploi:
\[
b = c w .
\]
On suppose que le travailleur reçoit une fraction $c$ du salaire réel moyen dans
l'économie sous forme de prestations d'allocation chômage. La fraction du salaire
réel moyen qu'un chômeur peut toucher en paiements d'allocation chômage ou de
bien-être social est communément appelée le \og taux de remplacement \fg. Nous
avons:
\begin{equation}
v = \left( 1 - (1-c) u \right) w = v(u) . \label{8}
\end{equation}
Sachant que $w = 1/m^p$ on voit que $v$ est fonction seulement de
$u$ puisque $m^p$ est constant. Le co\^ut d'opportunit\'e des travailleurs syndiqu\'es est donc d\'ecroissant avec une augmentation du ch\^omage. Substituant dans (\ref{4}) nous avons:
\begin{equation}
\frac{W_i}{P} = w_i = m^w \left( 1 - (1-c) u \right) w . \label{9}
\end{equation}
Avec tout ceci, l'objectif du syndicat devient:
\[
\Omega = \left( w_i - v(u) \right) L_i .
\]
On suppose aussi que la taille de la population active est égale à un, donc
l'emploi total $L$ doit être égal à $(1-u)$. En substituant $L_i$ et en utilisant
l'équation de demande de travail, on a
\begin{equation}
\Omega
= \Omega \left( w_i , u  \right)
= \left( w_i - v(u) \right) \frac{1-u}{n} \left( m^p w_i \right)^{-\sigma} .
\label{10}
\end{equation}
On écrit $\Omega \left( w_i , u  \right)$ pour souligner que l'objectif du
syndicat $\Omega$ est fonction du salaire réel dans le secteur $i$ et du taux de
chômage.

Supposez qu'initialement
\[
\bar{w}_i = m^w v\left( \bar{u} \right) ,
\]
où $\bar{u}$ est le taux de chômage d'équilibre de long terme. Suite au choc, le
taux de chômage augmente au niveau $u>\bar{u}$. Le nouveau salaire optimal est
\[
w_i = m^w v \left( u \right) .
\]
Le gain pour le syndicat d'ajuster son salaire peut s'écrire:
\begin{equation}
UL = \Omega \left( w_i , u  \right) -
\Omega \left( \bar{w}_i , u  \right) . \label{12}
\end{equation}
On peut écrire une expansion de Taylor du deuxième ordre de $\Omega \left(
  \bar{w}_i , u \right)$ autour du point $\bar{w}_i=w_i$ de la manière
suivante:\footnote{Notez que pour les fins de cette expansion de Taylor, nous
  traitons la fonction $\Omega$ comme une fonction de $\bar{w}_i$, et le point
  autour duquel on calcule l'expansion est $w_i$.}
\[
\Omega \left( \bar{w}_i , u  \right) \approx
\Omega \left( w_i , u  \right)
+ \frac{\partial \Omega \left( w_i , u  \right)}{\partial w_i}
\left( \bar{w}_i - w_i \right)
\]
\begin{equation}
+ \frac{1}{2} 
\frac{\partial^2 \Omega \left( w_i , u  \right)}
{\left( \partial w_i \right)^2}
\left( \bar{w}_i - w_i  \right)^2 . \label{13}
\end{equation}
Puisque nous évaluons la dérivée première étant donné le choix optimal du
salaire, elle doit être égale à zéro. Ceci nous donne:
\[
\Omega \left( \bar{w}_i , u  \right) \approx
\Omega \left( w_i , u  \right)
+ \frac{1}{2} 
\frac{\partial^2 \Omega \left( w_i , u  \right)}
{\left( \partial w_i \right)^2}
\left( \bar{w}_i - w_i  \right)^2
\]
\begin{equation}
\Rightarrow UL = 
- \frac{1}{2} 
\frac{\partial^2 \Omega \left( w_i , u  \right)}
{\left( \partial w_i \right)^2}
\left( \bar{w}_i - w_i  \right)^2 . \label{14}
\end{equation}
Cette \'equation r\'ev\`ele que le syndicat n'a pas de perte d'utilit\'e du premier ordre \`a ne pas ajuster le salaire et seulement une perte du deuxi\`eme ordre. 
Nous pouvons en fait évaluer cette dérivée seconde, même si c'est un peu ardu de
le faire. (Voir aussi la note 11 à la page 18 du manuel.) Notre but ultime est
d'exprimer le gain de changer le salaire nominal comme \textbf{une fraction de
  la masse salariale} dans le secteur $i$, $w_i L_i$. Par la suite, nous allons
essayer de nous faire une idée de la taille quantitative du gain en calibrant
certains paramètres.\\

Apr\`es quelques d\'erivations math\'ematiques que vous trouverez \`a l'Appendice de ce chapitre, on obtient l'\'equation d'int\' er\^et suivante: 
\begin{equation}
\label{rigreel}
\frac{UL}{w_i L_i}
= \frac{(\sigma-1)}{2}
\left( \frac{\bar{w}_i - w_i}{w_i} \right)^2 .
\end{equation}
Nous avons réussi à exprimer le gain de changer le salaire au salaire optimal
comme une fraction de la masse salariale dans le secteur $i$. Notez que ça
dépend du changement proportionnel du salaire optimal.

À partir de l'équation (\ref{9}) nous avons:
\[
\bar{w}_i = m^w \left( 1 - (1-c) \bar{u} \right) \bar{w}
\]
et
\[
w_i = m^w \left( 1 - (1-c) u \right) \bar{w} .
\]
Ici, on suppose que le salaire réel moyen dans l'économie n'est pas modifié par
rapport à son niveau initial $\bar{w}$. Substituant, nous obtenons
\[
\frac{\bar{w}_i - w_i}{w_i} =
\frac{m^w \left( 1 - (1-c) \bar{u} \right) \bar{w} -
m^w \left( 1 - (1-c) u \right) \bar{w}}
{m^w \left( 1 - (1-c) u \right) \bar{w}}
\]
\begin{equation}
\Rightarrow \frac{\bar{w}_i - w_i}{w_i}
= \frac{(1-c)(u-\bar{u})}{1-(1-c)u}
\end{equation}
On constate donc que plus le ch\^omage augmente par rapport au taux naturel de ch\^omage, et donc plus le co\^ut d'opportunit\'e des travailleurs syndiqu\'es diminue, plus grande est la perte d'utilit\'e de ne pas ajuster le salaire.

À partir des deux dernières équations, nous pouvons évaluer quantitativement le
gain d'ajuster le salaire, ou le coût de ne pas l'ajuster. Avant de le faire,
notez qu'avec notre hypothèse concernant $b$, l'équation (\ref{7}) se simplifie:
\[
\bar{u} = \frac{m^w-1}{m^w - m^w m^p c w}
\]
\[
= \frac{m^w-1}{m^w - m^w m^p c \frac{1}{m^p}}
\]
\[
= \frac{m^w-1}{m^w(1-c)}
\]
\[
= \frac{ \frac{\sigma}{\sigma-1} - \frac{\sigma-1}{\sigma-1} }
{ \frac{\sigma}{\sigma-1} (1-c) }
\]
\begin{equation}
\Rightarrow \bar{u} = \frac{1}{\sigma} \frac{1}{(1-c)}
\end{equation}
Si on suppose des valeurs $\bar{u}=0.05$ et $c=0.5$, ceci nous donne la valeur
de $\sigma$ qui doit être égale à 40. Supposons un taux de chômage après le choc
égal à 0.07. Il s'agit donc d'un choc substantiel qui fait augmenter le taux de
chômage par deux points de pourcentage.

Nous avons:
\[
\frac{UL}{w_i L_i}
= \frac{(\sigma-1)}{2}
\left( \frac{(1-c)(u-\bar{u})}{1-(1-c)u} \right)^2
\]
\[
= \frac{(40-1)}{2}
\left( \frac{0.5 \times 0.02}{1-0.5 \times 0.07} \right)^2
\]
\[
\approx 0.00209 .
\]
Si le syndicat ajuste son salaire le gain équivaut à 0.2\% de la masse salariale
dans le secteur.

Si les coûts d'ajuster le salaire (les coûts d'obtenir l'information nécessaire
pour calculer le nouveau salaire optimal, le coût des négotiations salariales,
le coût d'engager des avocats pour rédiger les contrats de salaire, etc.) sont
plus élevés que 0.2\% de la masse salaire, le syndicat va choisir de garder son
salaire nominal fixe face au choc.

Ainsi, la pr\'esence de faibles co\^uts d'ajustement du salaire (comme appelle ''menu costs'') va entra\^iner le salaire nominal du syndicat \`a \^etre rigide \`a court terme et produira de fa\c con agr\'eg\'ee une rigidit\'e du niveau du salaire nominal dans l'\'economie.
%Autrement dit, si les autres syndicats dans d'autres secteurs n'ajustent pas
%leurs salaires, le syndicat dans le secteur $i$ de l'économie ne va pas ajuster
%son salaire. Une façon technique de dire ceci est de dire que l'absence
%d'ajustement de la part de tous les syndicats est un équilibre de
%Nash.\footnote{Notez que le gain que nous venons de calculer est le gain à
%  l'intérieur d'une seule période. Dans la mesure que le choc qui fait augmenter
%  le taux de chômage a des effets persistants, il faut comptabiliser aussi les
%  gains futurs anticipés.} Étant donné que les autres syndicats n'ajustent pas
%leurs salaires, un syndicat n'a pas intérêt à ajuster le sien.\footnote{La
%  situation où tous les syndicats ajustent leurs salaires pourrait être une
%  deuxième équilibre de Nash: si c'est le cas on serait dans une situation avec
%  équilibres multiples. Nous n'allons pas poursuivre cette possibilité dans le
%  cadre de ce cours.}

\subsection{Rigidités réelles et rigidité salariale}

Nous venons de voir que pour choisir de ne pas ajuster son salaire face à une
augmentation imprévue du taux de chômage, il faut que le gain d'ajuster ne
dépasse pas le coût d'ajustement. L'expression qui nous donne le gain est:
\[
\Rightarrow \frac{UL}{w_i L_i}
= \frac{(\sigma-1)}{2}
\left( \frac{\bar{w}_i - w_i}{w_i} \right)^2 .
\]
Le terme $\frac{\bar{w}_i - w_i}{w_i}$ mesure l'ajustement salarial que le syndicat voudrait effectuer sans la pr\'esence des co\^uts \`a l'ajustement. 
%À l'intérieur de la parenthèse, on voit par combien le syndicat ajusterait son
%salaire s'il décide de le faire. 
Plus ce terme est élevé, donc plus il y a
ajustement du salaire réel, moins il y a de rigidités réelles. Ou inversement,
dans la mesure où la taille de cet ajustement est petite, on parle de
\textbf{rigidité réelle}. Il y a rigidité réelle lorsqu'un seul syndicat,
lorsqu'il a l'occasion d'ajuster son salaire, choisit un ajustement qui est
relativement faible. Plus le degré de rigidité du salaire réel sera élevé, moins
il faudra des coûts d'ajustement élevés pour empêcher une variation du salaire
nominal. En résumé, un haut degré de rigidité du salaire réel entraînera un
degré élevé de rigidité du salaire nominal. On parle aussi de rigidité réelle
dans le contexte des prix, lorsqu'une firme qui peut ajuster son prix choisit un
ajustement relativement faible.

\subsection{Coûts individuels, coûts sociaux}

Il est possible que le coût individuel de ne pas changer son salaire (prix)
soit faible tandis que le coût social soit élevé. Ceci est un des grands thèmes
de la macro moderne, version keynésienne.

\section{Conclusion}

Nous avons réussi à montrer qu'il peut y avoir des conditions plausibles sous
lesquelles les salaires nominaux choisis par les syndicats ne seront pas
modifiés suite à des chocs.

Ceci est le \og microfondement \fg{~} de la rigidité nominale des salaires. Dans
les chapitres qui suivent, nous allons prendre pour acquis que la rigidité des
salaires peut être justifiée (microfondée). Nous allons utiliser la rigidité
salariale comme un des éléments de base du modèle d'équilibre général néo
keynésien.

\newpage
\section{Appendice}
D\'erivation de l'\'equation (\ref{rigreel}).
  
  Nous avons:
\[
\Omega \left( w_i , u  \right) =
\left( w_i - v(u)  \right)
\left( \frac{1-u}{n} \right)
\left( m^p w_i \right)^{-\sigma} .
\]
Donc, nous avons
\[
\frac{\partial \Omega \left( \bar{w}_i , u  \right)}{\partial w_i}
= \left( \frac{1-u}{n} \right)
\left(
\left( m^p w_i \right)^{-\sigma} - \sigma m^p \left( w_i - v(u)  \right)
\left( m^p w_i \right)^{-\sigma-1}
\right) .
\]
Donc,
\[
\frac{\partial^2 \Omega \left( \bar{w}_i , u  \right)}
{\left(\partial w_i\right)^2} =
\]
\[
\left( \frac{1-u}{n} \right) \times
\]
\[
\Big[
-\sigma m^p \left( m^p w_i \right)^{-\sigma-1}
+(\sigma+1)\sigma \left( m^p \right)^2 \left( w_i - v(u)  \right)
\]
\[
\left( m^p w_i \right)^{-\sigma-2}
- \sigma m^p \left( m^p w_i \right)^{-\sigma-1}
\Big]
\]
\[
= \sigma m^p \left( \frac{1-u}{n} \right)
\left(
m^p (\sigma+1) \left( w_i - v(u)  \right)
\left( m^p w_i \right)^{-\sigma-2}
- 2 \left( m^p w_i \right)^{-\sigma-1}
\right)
\]
\[
= \sigma m^p \left( \frac{1-u}{n} \right)
\left( m^p w_i \right)^{-(\sigma+1)}
\left(
(\sigma+1) \frac{\left( w_i - v(u)  \right)}{w_i} - 2
\right) .
\]
Nous utilisons $m^w = \sigma/(\sigma-1)$, et de l'équation (\ref{4}) nous avons:
\[
w_i = \frac{\sigma}{\sigma-1} v
\]
\[
\Rightarrow w_i \left( \sigma - 1 \right) = \sigma v
\]
\[
\Rightarrow \left( w_i - v \right) \sigma = w_i
\]
\[
\Rightarrow \frac{\left( w_i - v(u)  \right)}{w_i} = \frac{1}{\sigma} .
\]
Substituant dans l'équation précédente, nous obtenons
\[
\frac{\partial^2 \Omega \left( \bar{w}_i , u  \right)}
{\left(\partial w_i\right)^2} =
\sigma m^p \left( \frac{1-u}{n} \right)
\left( m^p w_i \right)^{-(\sigma+1)}
\left(
\frac{(\sigma+1)}{\sigma}  - 2 \frac{\sigma}{\sigma}
\right)
\]
\[
= - \sigma m^p \left( \frac{1-u}{n} \right)
\left( m^p w_i \right)^{-(\sigma+1)}
\left( \frac{\sigma-1}{\sigma} \right)
\]
\[
= - \sigma  \frac{m^p}{m^w} \left( \frac{1-u}{n} \right)
\left( m^p w_i \right)^{-(\sigma+1)} .
\]
Substituant dans (\ref{14}), nous obtenons
\[
UL = \frac{1}{2} \sigma \frac{m^p}{m^w} \left( \frac{1-u}{n} \right)
\left( m^p w_i \right)^{-(\sigma+1)}
\left( \bar{w}_i - w_i  \right)^2 .
\]
Nous pouvons écrire la masse salariale dans le secteur $i$ ($w_i L_i$) de la
façon suivante (utilisant la fonction de demande de travail):
\[
w_i L_i = w_i \left( \frac{1-u}{n} \right) \left( m^p w_i \right)^{-\sigma} .
\]
Donc, nous avons
\[
\frac{UL}{w_i L_i} =
\frac{\frac{1}{2} \sigma \frac{m^p}{m^w} \left( \frac{1-u}{n} \right)
\left( m^p w_i \right)^{-(\sigma+1)}
\left( \bar{w}_i - w_i  \right)^2}
{w_i \left( \frac{1-u}{n} \right) \left( m^p w_i \right)^{-\sigma}}
\]
\[
= \frac{1}{2} \sigma m^p \frac{(\sigma-1)}{\sigma} \frac{1}{m^p}
\frac{1}{w_i} \frac{1}{w_i} \left( \bar{w}_i - w_i  \right)^2
\]
\begin{eqnarray*}
\Rightarrow \frac{UL}{w_i L_i}
= \frac{(\sigma-1)}{2}
\left( \frac{\bar{w}_i - w_i}{w_i} \right)^2 .
\end{eqnarray*}
ce qui nous donne le r\'esultat escompt\'e.

\vspace{.25in} \noindent
Dernière modification : \textbf{18/10/2012}

\end{document}