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\title{ECO3022: Macro\'economie III}
\author{Professeur: Alain Guay}
\institute{ESG UQAM}

\begin{document}
\newcommand\R{ \mathbb{R} }
\newcommand\N{ \mathbb{N} }
\newcommand\C{ \mathbb{C} }
\newcommand\T{{\cal T}}

\frame{\titlepage}

%\section[Outline]{}
%\frame{\tableofcontents}

\section{Introduction}
\subsection{Objectif du cours :}

\frame{
\frametitle{Objectifs du cours :}  
Que l'\'etudiant acquiert une certaine connaissance des th\'eories modernes du cycle \'economique et des politiques de stabilisation \'economique.
\pause
\begin{itemize}
\item On s'int\'eressera sp\'ecifiquement au cycle \'economique et non \`a la th\'eorie de la croissance.
\item On devra donc examiner les diff\'erentes m\'ethodologies pour d\'ecomposer les s\'eries macro\'economiques en composantes tendancielle et cyclique.
\end{itemize}

}

\section{La th\'eorie macro\'economique }

\frame{
\frametitle{D\'efinition de la macro\'economie:}  

On consid\`ere g\'en\'eralement que la macro\'economie s'int\'eresse \`a expliquer le comportement des agr\'egats \'economiques tels que la production agr\'eg\'ee (PIB), la consommation agr\'eg\'ee, le ch\^ omage, etc.... Mais cette d\'efinition est peu pr\'ecise.

}

\subsection{D\'efinition de la macro\'economie}
\frame{
  \frametitle{D\'efinition de la macro\'economie par sujet :}  
Croissance vs cycle \'economique\\
\begin{itemize}
\item Croissance: on cherche \`a expliquer la croissance de la production per capita ou du revenu per capita dans le long terme
\item Cycle \'economique: on cherche \`a expliquer les fluctuations  dans le court terme de variables r\'eelles telles que la production, la consommation, l'investissement, l'emploi et les variables nominales telles que l'inflation, le niveau des salaires et le taux d'int\'er\^et nominal.
\end{itemize}
}

\frame{
  \frametitle{D\'efinition de la macro\'economie selon la m\'ethodologie utilis\'ee :}  
Approche empirique vs approche th\'eorique\\
\begin{itemize}
\item Approche empirique: la macro est d\'efinie selon les donn\'ees que l'on cherche \`a expliquer
\item Th\'eories modernes: mod\`eles d'\'equilibre g\'en\'eral dynamiques et stochastiques 
\end{itemize}
}

\frame{
  \frametitle{L'aggr\'egation :}  
  On s'int\'eresse \`a l'explication du comportement des variables agr\'eg\'ees\\
\begin{itemize}
\item On va utiliser par exemple une fonction de production agr\'egr\'ee de type Cobb-Douglas
\begin{eqnarray*}
 Y_t = A_t K_t^{(1-\alpha)} N_t^\alpha
\end{eqnarray*}
\item Probl\`eme de mesure: on doit donc avoir une mesure contenue dans un seul nombre de ces agr\'egats: production, capital, etc...
\item Probl\`eme th\'eorique: la th\'eorie macro\'economie cherche \`a expliquer le comportement de ces aggr\'egats: ex: production: orange et biens manufactur\'es. On cherche donc \`a expliquer des ph\'enom\`enes h\'et\'erog\`enes par l'entremise d'une seule variable.
\end{itemize}
}


\frame{
\begin{itemize}
\item On devra donc faire des hypoth\`eses simplificatrices qui sont \'evidemmment viol\'ees dans la r\'ealit\'e.
\item On cherchera \`a faire des hypoth\`eses simplificatrices de telle sorte que les implications de la th\'eorie ne sont pas tr\`es sensibles \`a ces hypoth\`eses.
\end{itemize} 

}

\section{Distinction entre tendances et cycles}

\frame{
Dans ce cours, on va se concentrer sur le cycle \'economique. on va donc s'int\'eresser aux diff\'erentes th\'eories modernes explicatives des fluctuations \'economiques. On va chercher \`a r\'epondre aux questions du type: 

\begin{itemize}
\item Quels ph\'enom\`enes engendrent les fluctuations \'economiques?
\item Qu'est-ce qui explique les variations de l'emploi et du ch\^omage?
\item Quels sont les co\^uts de l'inflation?
\item De quelle fa\c con la politique mon\'etaire peut avoir un impact sur le cycle \'economique.
\end{itemize}
}



\frame{
\begin{itemize}
\item La plupart des agrégats macroéconomiques (le PIB et ses composantes, les
  prix, les salaires, les stocks monétaires) ont des taux de croissance
  positifs.
\item On doit donc extraire le cycle \'economique de la tendance afin de caract\'eriser le comportement cyclique des variables macro\'economiques
\end{itemize} 
}


\frame{
%\frametitle{PIB am\'ericain}
\begin{center}
 \includegraphics[scale=.3]{./pibus.pdf}
 % bar_bias_100delta.eps: 0x0 pixel, 300dpi, 0.00x0.00 cm, bb=18 18 594 774
\end{center}
}


\frame{  
\begin{itemize}
\item Ainsi, ces s\'eries n'ont pas des moyennes constantes. Toute statistique
  calculée à partir de ce type de série chronologique souffre du problème
  potentiel de \textbf{corrélations fictives}
 \item On peut montrer que le coefficient de corrélation entre deux séries non
  stationnaires peut être très élevé, même s'il n'y a aucun lien statistique
  entre les deux. Ceci est le soi-disant phénomène de \textbf{corrélations
    fictives}.
\end{itemize}
}

\frame{  
\begin{itemize}
\item Prenons l'exemple de deux séries qui sont des  marches aléatoires
  avec dérive:
\[
y_{1t} = \mu_{1} + y_{1t-1} + \varepsilon_{1t} , \quad \mu_1 > 0 ,
\]
\[
y_{2t} = \mu_{2} + y_{2t-1} + \varepsilon_{2t} , \quad \mu_2 > 0 ,
\]
où par hypothèse $\mbox{Cov} \left( \varepsilon_{1t} , \varepsilon_{2t} \right)
= 0$. En dépit de l'absence d'une relation statistique entre les deux séries
(les innovations sont non corrélées), si les dérives ($\mu_1$ et $\mu_2$) sont
assez fortes, le coefficient de corrélation entre les deux séries $y_{1t}$ et
$y_{2t}$ va être très élevé pour n'importe quel échantillon de données.
\end{itemize}
}

\subsection{Décomposition en composantes
ten\-dan\-tie\-lles et cy\-cli\-ques}

\frame{

\begin{itemize}
\item Soit la série $Y_t$ qui peut s'écrire
\begin{equation}
Y_t = Y^g_t Y^c_t ,
\end{equation}
où $Y^g_t$ est la composante tendancielle et $Y^c_t$ est la composante
cyclique.
\item Calculant en logs, nous avons
\[
\log \left( Y_t \right) = \log \left( Y^g_t \right) + \log \left( Y^c_t \right) ,
\]
que nous écrivons de la façon suivante:
\begin{equation}
\Rightarrow y_t = g_t + c_t ,
\end{equation}
où nous avons défini $g_t \equiv \log \left( Y^g_t \right)$ et $c_t \equiv \log
\left( Y^c_t \right)$.
\end{itemize}
}


\subsection{Méthodologies pour décomposer les séries
non stationnaires}

\frame{

Il y a plusieurs approches possibles à la décomposition de séries chronologiques
en composantes cyclique et tendancielle.
\begin{itemize}
\item Une approche simple (ou simpliste) serait de supposer un taux de
  croissance constant pour la partie tendancielle, par exemple
\[
g_t = g_0 + g \times t ,
\]
où $g$ est le taux de croissance constant. Pour établir les valeurs de $g_0$ et
$g$ on pourrait régresser (par moindres carrés ordinaires) la série initiale sur
une constante et une tendance linéaire déterministe.
\end{itemize}
}

\frame{
%\frametitle{PIB am\'ericain}
\begin{center}
 \includegraphics[scale=.4]{./trendpibus.pdf}
 % bar_bias_100delta.eps: 0x0 pixel, 300dpi, 0.00x0.00 cm, bb=18 18 594 774
\end{center}
}

\frame{

\begin{itemize}

\item Une autre approche simple, qui est fréquemment utilisée dans des articles
  publiés serait de supposer que la partie cyclique est tout simplement le taux
  de croissance de la série. On aurait par exemple
\[
c_t = y_t - y_{t-1} .
\]
Puisque la série en logs est la somme des composantes tendancielle et cyclique,
on a
\[
g_t = y_t - c_t = y_t - \left( y_t - y_{t-1} \right) = y_{t-1} .
\]
La composante tendancielle est la série initiale en logs (mais retardée d'une
période).
\end{itemize}
}


\frame{
\frametitle{PIB am\'ericain: en diff\'erence}
\begin{center}
 \includegraphics[scale=.4]{./dpibus.pdf}
 % bar_bias_100delta.eps: 0x0 pixel, 300dpi, 0.00x0.00 cm, bb=18 18 594 774
\end{center}
}


\frame{

\begin{itemize}

\item Une approche sophistiquée serait de dire qu'il faut élaborer un modèle qui
  explique simultanément les deux composantes. Autrement dit, un modèle de
  croissance combiné avec un modèle d'équilibre général du cycle. Il y a des
  études qui adoptent cette approche, mais elles sont plutôt rares à cause de sa
  complexité. Il faut noter que la distinction en théorie macroéconomique (et
  dans les manuels de macroéconomie) entre théorie de la croissance et théorie
  des fluctuations cycliques est artificielle: c'est une simplification qui peut
  ne pas être justifiée.

\end{itemize}
}

\frame{

\begin{itemize}


\item Supposer une composante tendancielle qui peut varier, mais de façon plus
  lisse (moins abrupte) que la série elle-même. Une façon de faire ceci est
  d'utiliser le ''filtre Hodrick-Prescott''.
  \end{itemize}

}


\subsubsection{Le filtre Hodrick-Prescott}


\frame{
On permet au taux de croissance de la composante tendancielle de varier, mais de
façon relativement lisse. Soit la série chronologique $y_t$ et un échantillon
d'observations $t = 1 \ldots T$. On calcule la composante tendancielle en
résolvant le problème de minimisation sous contrainte suivant:
\[
\min_{g_t (t=1 \ldots T)} \sum_{t=1}^{T} \left( y_t - g_t \right)^2 +
\lambda \left( (g_{t+1}-g_t) - (g_t-g_{t-1}) \right)^2 .
\]




La solution de ce probl\`eme de minimisation d\'epend de $\lambda$.
Il est clair que si la
valeur de $\lambda$ augmente, on pénalise davantage les retournements brusques
de la tendance.
}

\frame{

\begin{itemize}
\item $\lambda \rightarrow 0$, il n'y a aucune
pénalité, et la façon de minimiser la fonction objectif est de choisir $g_t =
y_t, \forall t$. Dans ce cas, il ne reste plus de composante cyclique.
\item $\lambda \rightarrow \infty$, tout ce qui compte c'est de
lisser la tendance, et la façon de minimiser la fonction objectif est de choisir
$(g_{t+1}-g_t) = (g_t - g_{t-1})$ pour chaque $t$, autrement dit de choisir une
tendance qui est une ligne droite.
\end{itemize}



Le choix habituel pour la valeur de $\lambda$ pour des données trimestrielles est
$\lambda=1600$.
}

\frame{
\frametitle{PIB am\'ericain: filtre HP}
\begin{center}
 \includegraphics[scale=.4]{./hppibus.pdf}
 % bar_bias_100delta.eps: 0x0 pixel, 300dpi, 0.00x0.00 cm, bb=18 18 594 774
\end{center}
}


\subsection{Faits caractéristiques du cycle économique}

\frame{ Bien que les cycles \'economiques soient diff\'erents, on observe des caract\'eristques communes \`a ces cycles. Nous allons appeler ces caract\'eristiques communes: ''faits caract\'eristiques''.  
}
\frame{
La th\'eorie cherche \`a expliquer certaines caract\'eristiques importantes du cycle.
Les faits caractéristiques sont habituellement établis à partir du calcul de variances,
covariances (corrélations) et autocovariances (autocorrélations) des composantes
cycliques de séries macroéconomiques. Pour être digne du nom ''fait
caractéristique'' il faut que le fait soit significatif au sens statistique
(nous n'allons pas nous pencher sur la question de comment faire ce genre de
test d'hypothèse dans ce cours-ci) et il faut que le fait soit présent dans les
fluctuations cycliques de la plupart des pays industrialisés.
}

\frame{

\frametitle{Statistiques descriptives:}
Définition d'une moyenne échantillonnale d'une variable $x_t$:
\[
\bar{x} = \frac{1}{T} \sum_{t=1}^T x_t.
\]
Définition de la variance échantillonnale d'une variable $x_t$:
\[
s^2_x =  \frac{1}{T-1} \sum_{t=1}^{T} \left( x_t - \bar{x} \right)^2.
\]
Définition de l'écart type échantillonnale d'une variable $x_t$:
\[
s_x = \sqrt{s^2_x} .
\]
}

\frame{


Définition de la corrélation échantillonnale entre deux variables $x_t$ et
$y_t$:
\[
\rho \left( x_t , y_t \right) = \frac{s_{x,y}}{s_x s_y} =
\frac{\frac{1}{T-1} \sum_{t=1}^T (x_t - \bar{x})(y_t - \bar{y})}
{\sqrt{\frac{1}{T-1} \sum_{t=1}^T (x_t - \bar{x})^2}
\sqrt{\frac{1}{T-1} \sum_{t=1}^T (y_t - \bar{y})^2}}
\]
\[
= \frac{\sum_{t=1}^T (x_t - \bar{x})(y_t - \bar{y})}
{\sqrt{\sum_{t=1}^T (x_t - \bar{x})^2}
\sqrt{\sum_{t=1}^T (y_t - \bar{y})^2}} .
\]
}

\frame{
Si on veut calculer une corrélation décalée il faut tenir compte de
l'introduction d'observations manquantes. Par exemple, si on veut calculer la
corrélation entre $y_t$ et $x_{t+i}$ où $i > 0$, on aurait
\[
\rho \left( x_{t+i} , y_t \right) =
\frac{\frac{1}{T-i-1} \sum_{t=1}^{T-i} (x_{t+i} - \bar{x})(y_t - \bar{y})}
{\sqrt{\frac{1}{T-1} \sum_{t=1}^T (x_t - \bar{x})^2}
\sqrt{\frac{1}{T-1} \sum_{t=1}^T (y_t - \bar{y})^2}} .
\]
Si l'échantillon est assez grand ($T$ assez grand), il ne devrait pas y avoir
beaucoup de différence entre un calcul de la variance de $x_t$ qui utilise tout
l'échantillon et un calcul de la variance de $x_{t+i}$ qui omet les $i$
dernières observations.
}

\frame{
Si on voulait calculer la corrélation entre $y_t$ et $x_{t-i}$ où $i > 0$, on
aurait
\[
\rho \left( x_{t-i} , y_t \right) =
\frac{\frac{1}{T-i-1} \sum_{t=i+1}^{T} (x_{t-i} - \bar{x})(y_t - \bar{y})}
{\sqrt{\frac{1}{T-1} \sum_{t=1}^T (x_t - \bar{x})^2}
\sqrt{\frac{1}{T-1} \sum_{t=1}^T (y_t - \bar{y})^2}} .
\]
}


\subsubsection{Variabilités relatives}
\frame{
La variabilité relative est mesurée par le rapport entre la variance d'une série
(ou de son écart type) et la variance du PIB (ou son écart type).

\begin{itemize}
\item La consommation est moins variable que le PIB.
\item L'investissement est plus variable que le PIB.
\item L'emploi est moins variable que le PIB.
\item Les exportations et les importations sont plus variables que le PIB.
\end{itemize}
}

\subsubsection{Persistance}
\frame{
La persistance est mesurée par l'autocorrélation d'une série
macroéconomique. Nous pouvons calculer l'autocorrélation d'ordre $i$ qui est
définie comme
\[
\mbox{Corr} \left( y_t , y_{t-i} \right)
= \rho \left( y_t , y_{t-i} \right)
\]
pour une série quelconque $y_t$. Souvent lorsque l'autocorrélation du premier
ordre est élevée, les autocorrélations d'ordre supérieur à un le sont aussi,
mais elles déclinent vers zéro lorsque $i$ augmente. Si les autocorrélations
restent élevées pour des ordres élevées, c'est probablement un signe que nous
sommes en présence d'une variable dont nous n'avons pas enlevé la
composante tendancielle.
}

\frame{
\begin{itemize}
\item Le PIB lui-même est persistant.
\item La consommation est persistante, autant que le PIB.
\item L'emploi et le chômage sont plus persistants que le PIB.
\end{itemize}
}

\subsubsection{Corrélations contemporaines}

\frame{
La plupart du temps, nous allons regarder la corrélation entre une série autre
que le PIB et le PIB lui-même. Nous allons dire qu'une série est procyclique si
sa corrélation avec le PIB est significativement supérieure à zéro. Nous allons
dire qu'une série est contracyclique si sa corrélation avec le PIB est
significativement inférieure à zéro.

\begin{itemize}
\item La consommation, l'investissement et les importations sont fortement procycliques.
\item L'emploi est procyclique, le chômage est contracyclique, et les deux
  variables sont plus fortement corrélées avec le PIB que le salaire réel et la
  productivité de la main-d'{\oe}uvre.
\item Dans la plupart des pays, l'inflation est procyclique, mais pas très
  fortement.
\end{itemize}
}


\subsubsection{Corrélation décalées}

\frame{

Il peut arriver qu'en valeur absolue la corrélation contemporaine entre deux
variables, définie comme
\[
\mbox{Corr} \left( x_t , y_t \right)
\]
pour des variables quelconques $x_t$ et $y_t$, soit moins élevée qu'une
corrélation décalée, définie comme
\[
\mbox{Corr} \left( x_{t+i} , y_t \right) , \quad i \ne 0 .
\]
Si tel est le cas, et si $y_t$ représente le PIB, nous allons dire qu'une série
$x_t$ \textbf{suit} le cycle si la corrélation décalée maximale a lieu lorsque
$i>0$. Nous allons dire qu'une série \textbf{mène} le cycle lorsque la
corrélation décalée maximale a lieu lorsque $i<0$.
}

\frame{
Dans le cas d'une variable qui suit le cycle, la corrélation entre le PIB et la
variable $i$ périodes plus tard est la plus élevée (en valeur absolue). Dans le
cas d'une variable qui pr\'ec\`ede le cycle, la corrélation entre le PIB et la variable
$i$ périodes plus tôt est la plus élevée (en valeur absolue).

\begin{itemize}
\item L'emploi, l'inflation et les taux d'intérêt suivent le cycle.
\end{itemize}
}





\end{document}

The long run variance-covariance matrix is thus
\begin{eqnarray}
\left(I-B_k(1) \right)^{-1} \Sigma_u \left(\left(I-B_k(1)
\right)^{-1}\right)'.
\end{eqnarray}
As explained above, we have also the following relation:
\begin{eqnarray*}
A(0)=\left(I-B_k(1) \right) A(1).
\end{eqnarray*}
The structural moving average coefficients are then obtained as:
\begin{eqnarray}
\label{lrmult} A(L)=C(L)A(0)=\left(I-B_k(L)L \right)^{-1}
\left(I-B_k(1) \right) A(1).
\end{eqnarray}


\noindent On the other hand, the structural VAR model can be
written as:
\begin{eqnarray*}
\Delta X_t = \sum_{s=0}^{\infty} A_s \epsilon_{t-s} = A(L)
\epsilon_t \label{structuralform}
\end{eqnarray*}
where $A(L) = \sum_{s=0}^{\infty} A_s L^s$, $A_0 = A(0)$,
$A_{\infty} \equiv A(1) = \sum_{s=0}^{\infty}A_s$, and
$\epsilon_t$ is a random $K \times 1$ vector of structural shocks
with $E(\epsilon_t) = 0$ and $E(\epsilon_t \epsilon_t') = \Omega$.
A common identification assumption is $\Omega = I_K$.
\\ \\
\noindent Taking equations (\ref{structuralform}) and
(\ref{reducedform}), the residuals of the reduced-form model are
related to the structural residuals as follows:
\begin{eqnarray}
u_{t}=A(0)\epsilon _{t}  \label{identification-1}
\end{eqnarray}
and thus
\begin{eqnarray}
C(0)\Sigma_u C(0)^{\prime }\equiv \Sigma_u =A(0)\Omega
A(0)^{\prime }. \label{identification-2}
\end{eqnarray}

}

\frame{
\[
 E\left[\left(e^{ix_{t}\tau}-\psi(\tau; \theta) \right)\right]=0 ~~ \forall~ s,\tau \in \R^{dim(x_t)},
\]
\[
 \psi(\tau; \theta) = E \left(e^{ix_{t}\tau} \right)
\]\pause
Example: Let $X_t$ be distributed as $S(\omega,\beta,\gamma,\delta,pm)$, a general heavy-tailed and skewed distribution.
}
\frame{
  \frametitle{Method of instrumental variables with many instruments}
\begin{itemize}
\item Carrasco(2008): We want to estimate
\[
 Y_t =  X_t\beta + u_t
\]
with
\[
 X_t = \underbrace{f(w_t)}_{\mbox{exogenous part}} + \underbrace{\epsilon_t}_{\mbox{endogenous part}},
\]
where $f(w_t)$ is a function of unknown form. We can use $e^{w_t\tau i}$ as instruments for $\tau\in \R^{dim(w)}$, which implies the following moment conditions:
\[
 E\left[ \left(Y_t-X_t\beta \right)e^{w_t\tau i}\right]=0 ~~\forall \tau \in \R^{dim(w)}
\]
\end{itemize}
}
\frame{
  \frametitle{Many instruments without the continuum structure}
\begin{itemize}
\item The method can be used for a countable set of instruments:\\
\[
 Z_{it} = f_i(w_t)~~\mbox{for}~~ i=\N
\]

\end{itemize}
}
\frame{
\frametitle{Conditions based on conditional characteristic functions:}  
\begin{itemize}
\item Singleton(2001)
\item Carrasco-Chernov-Florens-Ghysels(2006)
\[
 E\left[ m_t(s;\theta)\left(e^{ix_{t+1}\tau}-\psi_t(\tau;\theta) \right)\right]=0 ~~ \forall~ s,\tau \in \R^{dim(x_t)},
\]\pause
Example: Cox-Ingersol-Ross process for interest rate
\[
dr_t = (\gamma - \kappa r_t)dt + \sigma \sqrt{r_t}dW_t
\]

The conditional characteristic function for this process is:\\
\[
E\left(e^{i\tau r_{t+1}}\Big| r_t\right) \equiv \psi(\tau|r_t) = \left( 1-\frac{i\tau}{c}\right)^{-2\gamma/\sigma^2} \exp{\left[\frac{i\tau e^{-\kappa}}{1-\frac{i\tau}{c}}r_t \right]}
\]
\end{itemize}
}

\frame{
  \frametitle{Estimating Euler equations in the frequency domain}
\begin{itemize}
\item Berkowitz(2001): CCAPM
\item Bindelli(2005): NKPC
\end{itemize}
\[
 E_t\left(h(x_{t+1};\theta)\right)=0 
\]
which implies:
\[
 E\left(\hat{f}_h(\omega)- \frac{\sigma_h^2}{2\pi}\right) = 0~~\forall \omega \in [a,b]
\]
where $f(\omega)$ is the spectral density.
}

\subsection{Existing estimation tools}
\frame{
\frametitle{GMM for a continuum of conditions (CGMM)} 
\begin{itemize}
 \item  Carrasco-Florens(2000)
\end{itemize}
Let the moment conditions be:
\[
 E^{P_0}\left[ g(x_t,\tau;\theta_0)  \right] = 0 ~~\forall \tau \in \T
\]\pause
with
\[
 \sqrt{n}\sum_{t=1}^n g(x_t;\theta_0) \Longrightarrow N(0,K)
\]
where K is a covariance operator with kernel $k(\tau_1,\tau_2)$ defined as:
\[
 k(\tau_1,\tau_2) = E^{P_0}\left[ g(x_{t},\tau_1;\theta_0) g(x_t,\tau_2;\theta_0)\right]
\]\pause
}
\frame{
\frametitle{Linear operator notation} 
\[
 (K\lambda)(\tau) \equiv <K,\lambda>(\tau) = \int_\T k(\tau_1,\tau) \lambda(\tau_1)d\pi(\tau_1) 
\]\pause
In a discrete case we have:
\[
 (K\lambda)_i \equiv <K,\lambda>_i = \sum_j k_{ji}\lambda_j
\]\pause
We say that $g\sim N(0,K)$ if, for any non-random $f$,  $fg\sim N(0,fKf)$ or $N(0,Kf^2)$ \pause where:
\[
 fg = \int_\T f(\tau) g(\tau) d\pi(\tau)
\]\pause
\[
 Kf^2 = \int_\T \int_\T k(\tau_1,\tau_2) f(\tau_1)f(\tau_2) d\pi(\tau_1) d\pi(\tau_2)
\]
}


\frame{
\frametitle{GMM for a continuum of conditions (CGMM)} 
The CGMM estimator is defined as:
\[
 \theta_{cgmm} = arg\min_\Theta \Vert \widehat{K}^{-1/2}_\alpha g(x_t;\theta) \Vert
\]\pause
where $\widehat{K}^{-1/2}_\alpha$ is the square root of the regularized inverse of the consistent estimator $\widehat{K}$ of K defined as:
\[
\widehat{K}^{-1}_\alpha = (\widehat{K}^2+\alpha_n I)^{-1}\widehat{K} 
\]
where $\alpha_n$ is the parameter that smooths the inversion of $\widehat{K}$, \pause defined by the kernel
\[
 \widehat{k}(\tau_1,\tau_2; \theta^*) = \frac{1}{n}\sum_{t=1}^n g_t(\tau_1;\theta^*)g_t(\tau_2;\theta^*)
\]

}
\frame{
\frametitle{Why not selecting a finite number of moment conditions?} 
\begin{itemize}
\item Which one?\pause
\item We want to select the strongests to avoid the problem of weak moment conditions.\pause
\item How many? \pause To minimize the MSE (Donald-Newey(2001))?\pause
\item CGMM chooses the whole set and a regularization parameter selects automatically the most influential ones much like a principal component procedure.
\end{itemize}
}

\subsection{Motivation 2: why generalized empirical likelihood (GEL)?}
\frame{
\begin{itemize}
\item GEL is considered as a good alternative to GMM...\pause
\item It includes many methods such as the continuously updated estimator (CUE) of Hansen-Eaton-Yaron(1996) with a simpler analytical form (Antoine-Bonnal-Renault(2007)) \pause
\item It includes the empirical likelihood (EL) of Owen(1988) and the exponential tilting estimator of Kitamura-Stutzer(1997)\pause
\item CUE is less biased than GMM and EL is less biased than CUE. Furthermore, the bias of EL does not increase with the number of instruments. (Newey-Smith(2004) and Anatolyev(2005))
\end{itemize}
}


\section{GEL for a continuum of conditions (C-GEL)}

\subsection{The method}

\frame{
\frametitle{The general setup}
As for CGMM above, we suppose that $\theta_0$ can uniquely be identified by the following conditions:
\[
 E^{P_0}\left[ g(x_t,\tau;\theta_0) \right] = 0 ~~\forall \tau \in \T
\]
where $g(x_t,.;\theta)$, for all $x_t$ and $\theta$, is in $L^2(\pi)$, the Hilbert space equipped with the inner product $<f,g>$ defined as:
\[
 <f,g> = \int_\T f(\tau)g(\tau)\pi(\tau)d\tau
\]\pause
We suppose for this paper that $x_t$ is iid.\\

} 

\frame{
\frametitle{Definition of the estimator: the primal problem}
\[
 \hat{\theta}_n = \arg\min_{\theta,p_t} \sum_{t=1}^n h_n(p_t) 
\]
subject to
\[
 \sum_{t=1}^n p_tg(x_t,\tau; \theta) = 0 ~~~\forall \tau \in \T
\]
and
\[ 
\sum_{t=1}^n p_t = 1 
\]
}

\frame{
\frametitle{Definition of the estimator: the dual problem}
\[
\hat{\theta}_{cgel} = arg\min_\theta \sup_\lambda \sum_{t=1}^n \rho\left( \lambda g(x_t;\theta) \right)
\]\pause

\begin{itemize}
 \item If $\rho(v) = \log{(1-v)}$, we have CEL\pause
\item If $\rho(v) = -v-0.5v^2$, we show that the objective function is the same as CCUE + $o_p(1)$\pause
\item If $\rho(v)= e^{-v}$, we have CET
\end{itemize}
}

\subsection{Algorithms to solve the first order conditions}

\frame{
\frametitle{Iterative procedure}

The first order conditions are:
\[
 \sum_{t=1}^n \rho'\left( \lambda g(x_t;\theta) \right) \left[\frac{dg(x_t;\theta)}{d\theta}\right] g(x_t;\theta) = 0 
\]\pause
\[
 \sum_{t=1}^n \rho'\left( \lambda g(x_t;\theta) \right) g(x_t,\tau;\theta) = 0 ~\forall~\tau~ \in ~\T
\]\pause
Which can be written as a nonlinear operator equation format:
\[
 F(\lambda) = 0
\]
}

\frame{
\frametitle{Iterative procedure}
Problem: Newton-type methods won't work because the inverse of the operator $DF(\lambda)$ is unbounded. \\ \pause
Solution: Regularized Gauss-Newton method. We want to minimize the following:
\[
 \Vert F(\lambda) \Vert + \alpha_n \Vert \lambda \Vert
\]
\pause
The following iterative method solves the above minimization problem:
\[
 \lambda_{i} = \lambda_{i-1} - \left[ \alpha_n I + DF(\lambda_{i-1})^2 \right]^{-1}\left\{DF(\lambda_{i-1})F(\lambda_{i-1}) + \alpha_n \lambda_{i-1}\right\}
\]

}

\frame{
\frametitle{Iterative procedure: in matrix form}
Lets define the $n\times n$ diagonal matrix V as:
\[
 V_{tt} = \rho''(\lambda g_t) ,
\]
the $n\times 1$ vector P as:
\[
 P_t = \rho'(\lambda g_t) ,
\]
and the $n\times n$ matrix C as:
\[
c_{ij} = \frac{1}{n}\int_\T g(x_i,\tau,\theta)g(x_j,\tau,\theta) \pi(\tau)d\tau
\]
}
\frame{
\frametitle{Iterative procedure: in matrix form}

Then, we can show that the iterative procedure can be written as follows:
\[
<g_t,\lambda_i> = \left\{ [CV]^2 + \alpha_n I \right\}^{-1}\left\{ [CV]^2<g_t,\lambda_{i-1}> - [CV][CP] \right\}
\]
with the initial value:
\[
 <g,\lambda_0> = -\left\{  C^2+\alpha_n I \right\}^{-1}C^2\iota
\]
}
\frame{
\frametitle{Iterative procedure: playing with $\alpha_n$}
The smoothing parameter may need to be modified while optimizing.\pause \\

We obtain the solution by using an optimizer (optim in R, fmin in Matlab) to solve:
\[
\hat{\theta}_{cgel} = arg\min_\theta \sum_{t=1}^n \rho\left( \lambda_\alpha(\theta) g(x_t;\theta) \right),
\]
where $\lambda_\alpha(\theta)$ is obtained by the above iterative procedure.\pause\\ 

The initial $\alpha_n$ may not be big enough for all $\theta$. 
}

\frame{
\frametitle{Another algorithm: The singular value decomposition}
The Taylor approximation of the first order conditions about $\lambda=0$ implies:
\[
\widehat{K} \lambda = -\bar{g}(\theta)
\]
\begin{enumerate}
\item We construct the nxn matrix C as above,
\item We compute the eigenvectors $\beta_i$ and eigenvalues $\mu_i^{(n)}$ for $i=1,...,m$
\item We compute the eigenfunctions of $K_n$ as follows:
\[
\nu_i^{(n)} = \frac{1}{n}\sum_{j=1}^n \beta_{ji} g(\theta,x_j) \qquad i=1,...,m
\]
\end{enumerate}
}

\frame{
\frametitle{Another algorithm: The singular value decomposition}
We then compute $\hat{\lambda}_\alpha$:
\[
\hat{\lambda}_\alpha = -\sum_{i=1}^m \left( \frac{\mu_i^{(n)}}{\mu_i^{(n)^2}+\alpha_n}\right)<\bar{g}(\theta),\nu_i^{(n)}>\nu_i^{(n)}
\]
}

\subsection{Asymptotic results}
 
\frame{
\frametitle{Convergence of $\hat{\lambda}_\alpha$}
\[
\sqrt{n}\hat{\lambda}_\alpha \Longrightarrow N(0,V)
\]
as $\alpha_n$ goes to zero, n goes to infinity and $n \alpha_n^3$ goes to infinity, where 
\[
V = \left\{ I - K^{-1}G\left(G^*K^{-1}G\right)^{-1}G^*\right\} K^{-1}
\]
and 
\[
 G = \lim_{n\rightarrow\infty} \frac{1}{n}\sum_{t=1}^n \frac{\partial g_t(\theta_0)}{\partial \theta} 
\]
and $G^*$ is the adjoint of G. 
}

\frame{
\frametitle{Convergence of $\hat{\theta}_\alpha $}
Similarly, we have the following result
\[
\sqrt{n}(\hat{\theta}_\alpha-\theta_0) \Longrightarrow N(0,W)
\]
as $\alpha_n$ goes to zero, n goes to infinity and $n \alpha_n^3$ goes to infinity, with
\[
W = \left\{ G^* K^{-1} G \right\}^{-1} 
\]
}

\subsection{Tests of over-identifying restrictions}
\frame{
\frametitle{The tests}
\[
 \widetilde{J} = \frac{\| (K_n^{\alpha_n})^{-1/2} \sqrt{n} \bar{g}(\hat{\theta}_n) \|^2 - p_n}{\sqrt{q_n}}\Longrightarrow N(0,1) ,
\]
\[
 \widetilde{LM} =  \frac{\| \hat{K}^{1/2} \sqrt{n} \hat{\lambda}_n \|^2 - p_n}{\sqrt{q_n}} .
\]
\[
 \widetilde{LR} = \frac{2n(P(\hat{\lambda}_n,\hat{\theta}_n)-\rho(0)) - p_n}{\sqrt{q_n}} .
\]
where 
\[
 p_n = \sum_{i=1}^n \frac{\mu_i^{(n)^2}}{(\mu_i^{(n)^2}+\alpha_n)}~\mbox{and}~
q_n = 2\sum_{i=1}^n \frac{\mu_i^{(n)^4}}{(\mu_i^{(n)^2}+\alpha_n)^2} 
\]
}

\frame{
\frametitle{The matrix form}
\[
 \widetilde{J} = \frac{\iota'(\beta D \beta' - D)\iota}{\sqrt{2\iota' D^2 \iota}} ,
\]
\[
 \widetilde{LM} =  \frac{\sum_{t=1}^n (g_t(\hat{\theta}_n)\hat{\lambda}_n)^2 - \iota' D \iota}{\sqrt{2\iota' D^2 \iota}}
\]
\[
 \widetilde{LR} = \frac{2\sum_{t=1}^n \rho(g_t(\hat{\theta}_n)\hat{\lambda}_n) - 2n\rho(0) - \iota' D \iota}{\sqrt{2\iota' D^2 \iota}} .
\]
where $\beta$ is the $n\times n$ matrix containing the n eigenvectors of $C$, $\iota$ is a vector of ones  and $D$ is an $n\times n$ diagonal matrix with typical element
\[
D_{ii} =  \frac{\mu_i^{(n)^2}}{(\mu_i^{(n)^2}+\alpha_n)} .
\]
}

\section{Numerical example}

\subsection{The model}
\frame{
\frametitle{The stable distribution}
\begin{itemize}
\item Carrasco-Florens (2002), Garcia-Renault-Veredas (2006) for the estimation.
\item Nolan (2009) for details on the stable distribution. \pause
\item Good alternative to model heavy-tailed and skewed data such as stock returns. \pause
\item The distribution of a random variable is said to be stable if linear combinations preserve the shape of the distribution up to scale and shift.\pause
\item Special cases: Normal, Cauchy and Lévy distributions

\end{itemize}

}
\frame{
\frametitle{The stable distribution}
\begin{itemize}
\item In general, the density does not have a closed form expression.\pause
\item However, the characteristic function does.\pause
\item For a stable distribution $S(\omega,\beta,\gamma,\delta,pm)$, with $pm=1$, the marginal characteristic function $\Psi(\theta;\tau)$ is:  
\[
\left\{
\begin{array}{lcr}
\exp{(-\gamma^\omega|\tau|^\omega[1-i\beta(\tan{\frac{\pi\omega}{2}})(sign(\tau))] + i\delta \tau)} &\mbox{for}&\omega\neq 1\\
\exp{(-\gamma|\tau|[1+i\beta\frac{2}{\pi}(sign(\tau))\log{|\tau|}] + i\delta \tau)} &\mbox{for}&\omega= 1\\
\end{array}
\right. .
\]  
\item The four parameters are respectively the characteristic exponent and the skewness, the scale and the location parameters
\end{itemize}
}

\subsection{CGEL and CGMM estimation }

\frame{
\frametitle{The simulation method}
\begin{itemize}
\item The moment condition is:
\[
 E\left[e^{i \tau x_t}-\Psi(\theta;\tau)\right]=0~~\forall~\tau\in\R
\]
\item n=100 and 200, the true distribution is $S(1.7, 0.5, 0.5, 0, 1)$, the number of iterations is 1000 and the different values of $\alpha_n$ are $\{0.0001, 0.001, 0.005, 0.01, 0.05, 0.1\}$
\item The random variables are generated using the random number generator from the \textbf{R} package \textbf{fBasics} from \textbf{Rmetrics}.
\end{itemize}

}

\frame{
\frametitle{Some results: $\omega$}
\begin{center}
 \includegraphics[scale=.5]{./bar_bias_100omega.pdf}
 % bar_bias_100delta.eps: 0x0 pixel, 300dpi, 0.00x0.00 cm, bb=18 18 594 774
\end{center}
}

\frame{
\frametitle{Some results: $\beta$}
\begin{center}
 \includegraphics[scale=.5]{./bar_bias_100beta.pdf}
 % bar_bias_100delta.eps: 0x0 pixel, 300dpi, 0.00x0.00 cm, bb=18 18 594 774
\end{center}
}

\frame{
\frametitle{Some results: $\gamma$}
\begin{center}
 \includegraphics[scale=.5]{./bar_bias_100gamma.pdf}
 % bar_bias_100delta.eps: 0x0 pixel, 300dpi, 0.00x0.00 cm, bb=18 18 594 774
\end{center}
}

\frame{
\frametitle{Some results: $\delta$}
\begin{center}
 \includegraphics[scale=.5]{./bar_bias_100delta.pdf}
 % bar_bias_100delta.eps: 0x0 pixel, 300dpi, 0.00x0.00 cm, bb=18 18 594 774
\end{center}
}

\frame{
\frametitle{Some results: $\omega$}
\begin{center}
 \includegraphics[scale=.5]{./bar_vol_100omega.pdf}
 % bar_bias_100delta.eps: 0x0 pixel, 300dpi, 0.00x0.00 cm, bb=18 18 594 774
\end{center}
}

\frame{
\frametitle{Some results: $\beta$}
\begin{center}
 \includegraphics[scale=.5]{./bar_vol_100beta.pdf}
 % bar_bias_100delta.eps: 0x0 pixel, 300dpi, 0.00x0.00 cm, bb=18 18 594 774
\end{center}
}

\frame{
\frametitle{Some results: $\gamma$}
\begin{center}
 \includegraphics[scale=.5]{./bar_vol_100gamma.pdf}
 % bar_bias_100delta.eps: 0x0 pixel, 300dpi, 0.00x0.00 cm, bb=18 18 594 774
\end{center}
}

\frame{
\frametitle{Some results: $\delta$}
\begin{center}
 \includegraphics[scale=.5]{./bar_vol_100delta.pdf}
 % bar_bias_100delta.eps: 0x0 pixel, 300dpi, 0.00x0.00 cm, bb=18 18 594 774
\end{center}
}

\frame{
\frametitle{Some results: The three tests}
\begin{center}
\begin{tiny}\begin{tabular}{|c|l||c|c|c|c|c|c|c|} \hline
\multicolumn{2}{|l||}{Tests}&\multicolumn{1}{c|}{CGMM}&\multicolumn{1}{c|}{iter-EL}&\multicolumn{1}{c|}{iter-ET}&\multicolumn{1}{c|}{iter-CUE}&\multicolumn{1}{c|}{sv-EL}&\multicolumn{1}{c|}{sv-ET}&\multicolumn{1}{c|}{sv-CUE}\\ \hline
\multirow{6}{*}{J-Test} & $\alpha$ = 0.1&0.001&0.040&0.030&0.023&0.042&0.058&0.059\\ 
& $\alpha$ = 0.05&0.003&0.023&0.030&0.019&0.083&0.076&0.069\\ 
& $\alpha$ = 0.01&0.026&0.078&0.068&0.048&0.129&0.117&0.113\\ 
& $\alpha$ = 0.005&0.036&0.095&0.084&0.083&0.185&0.184&0.196\\ 
& $\alpha$ = 0.001&0.142&0.157&0.153&0.154&0.322&0.336&0.337\\ 
& $\alpha$ = 0.0001&0.540&0.582&0.530&0.516&0.782&0.784&0.783\\   \hline
\multirow{6}{*}{LM-Test} & $\alpha$ = 0.1&&0.004&0.000&0.000&0.004&0.000&0.001\\ 
& $\alpha$ = 0.05&&0.004&0.000&0.000&0.010&0.000&0.000\\ 
& $\alpha$ = 0.01&&0.053&0.011&0.000&0.061&0.009&0.002\\ 
& $\alpha$ = 0.005&&0.129&0.020&0.000&0.080&0.009&0.012\\ 
& $\alpha$ = 0.001&&0.366&0.087&0.003&0.256&0.088&0.071\\ 
& $\alpha$ = 0.0001&&0.517&0.215&0.012&0.497&0.304&0.308\\  \hline
\multirow{6}{*}{LR-Test} & $\alpha$ = 0.1&&0.000&0.000&0.001&0.008&0.008&0.010\\ 
& $\alpha$ = 0.05&&0.000&0.000&0.000&0.026&0.018&0.023\\ 
& $\alpha$ = 0.01&&0.002&0.003&0.001&0.107&0.089&0.095\\ 
& $\alpha$ = 0.005&&0.006&0.001&0.001&0.160&0.149&0.168\\ 
& $\alpha$ = 0.001&&0.013&0.007&0.005&0.403&0.358&0.367\\ 
& $\alpha$ = 0.0001&&0.041&0.013&0.015&0.726&0.694&0.718\\ 
\hline
\end{tabular}             \end{tiny}
\end{center}
}
\section{What's next?}
\frame{
\begin{itemize}
 \item Analyzing the effect of $\alpha$ on the bias and MSE for different cases and with more iterations\pause
\item Considering the case where $x_t$ is weakly dependent\pause
\item Deriving second order asymptotic properties of CGEL in order to better understand the effect of $\alpha$.
\item Improving inference
\end{itemize}
}


\end{document}