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\title{ECO3022 : Macroéconomie III \\
Chômage de long terme et rigidités nomiales}

\author{Steve Ambler\thanks{Ces notes sont en cours de développement. J'ai
    besoin de vos commentaires et de vos suggestions pour les améliorer. Vous
    pouvez me faire part de vos commentaires en personne ou en envoyant un
    message à
    \href{mailto:ambler.steven@uqam.ca}{\texttt{ambler.steven@uqam.ca}}.} \\
  Département des sciences économiques \\
  École des sciences de la gestion \\
  Université du Québec à Montréal\\
  {\copyright} 2010 : Steve Ambler}

\date{Hiver 2010}

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\doublespacing

\begin{document}

\raggedright

\maketitle

\newpage
\tableofcontents

\section{Introduction}

Objectifs du cours:
\begin{itemize}
\item Faire ressortir l'importance de la concurrence imparfaite pour l'existence
  du chômage à long terme.
\item Justifier l'existence de rigidités nominales à court terme.
\item Faire ressortir l'importance des rigidités réelles pour l'existence de
  ces rigidités nominales à court terme.
\end{itemize}

\section{Concurrence imparfaite et taux de chômage de long terme}

Prix optimal de la firme représentative:
\begin{equation}
P = m^p W , \label{prixopt}
\end{equation}
où $W$ est le salaire nominal, $P$ est le niveau des prix et $m^p$ est la marge
ajoutée (proportionnelle) de la firme représentative.

Objectif du syndicat:
\begin{equation}
\Omega = \left( \frac{W_i}{P} - v  \right) L_i ,
\end{equation}
où $W_i$ est le salaire choici par le syndicat dans le secteur $i$, et $v$ est
le coût d'opportunité d'un travailleur dans le secteur. Le syndicat veut donc
maximiser le surplus total de ses membres.

Demande de travail dans le secteur $i$:
\begin{equation}
L_i = \frac{L}{n} \left( \frac{W_i}{W}  \right)^{-\sigma}
= \frac{L}{n} \left( \frac{m^p W_i}{P}  \right)^{-\sigma} ,
\end{equation}
où $-\sigma$ est l'élasticité de la demande de travail dans le secteur
($\sigma>1$), $L$ est l'emploi total dans l'économie (considéré comme exogène)
et $n$ est le nombre de secteurs. $\Omega$ a l'interprétation du surplus total
des travailleurs par rapport à leur coût d'opportunité.

Maximiser $\Omega$ revient à maximiser $\ln\left( \Omega \right)$. La condition
d'optimalité pour maximiser le surplus est:
\[
\frac{\partial \ln \left( \Omega \right)}{\partial W_i} = 0
\]
\[
\rightarrow \frac{1}{\frac{W_i}{P}-v} \frac{1}{P} - 
\sigma \frac{1}{\left( m^p W_i /P \right)}
\frac{m^p}{P} = 0
\]
\[
\rightarrow \frac{1}{\frac{W_i}{P}-v} = \sigma \frac{P}{W_i}
\]
\[
\rightarrow \left( \sigma-1 \right) \frac{W_i}{P} = \sigma v
\]
\begin{equation}
\rightarrow \frac{W_i}{P} = \frac{\sigma}{\sigma-1}v \equiv m^w v ,
\label{salopt}
\end{equation}
où évidemment $\sigma > 1$. Le salaire optimal est une marge ajoutée sur le coût
d'opportunité du travailleur représentatif dans le secteur.

Supposons maintenant que:
\begin{equation}
v = \left( 1-u  \right) \frac{W}{P} + u b ,
\end{equation}
où $u$ est le taux de chômage et $b$ est ce que le travailleur peut gagner s'il
ne travaille pas. Supposez aussi que
\[
w_i \equiv \frac{W_i}{P} , \qquad w \equiv \frac{W}{P} .
\]
Nous avons:
\begin{equation}
w_i = m^w \left( (1-u) w + u b  \right) .
\end{equation}
Si $m^w$ est identique à travers les secteurs, $w_i=w$ et nous avons:
\[
w = m^w \left( (1-u) w + u b  \right)
\]
\begin{equation}
\rightarrow w = \frac{m^wu}{1-m^w\left( 1-u  \right)} b .
\end{equation}
Nous savons aussi à partir de l'équation (\ref{prixopt}) que
\[
w = \frac{W}{P} = \frac{1}{m^p} .
\]
Substituant, nous obtenons
\[
\frac{1}{m^p} = \frac{m^wu}{1-m^w\left( 1-u  \right)} b .
\]
Isolant $u$, nous obtenons (après simplification):
\begin{equation}
u = \frac{m^w-1}{m^w - m^w m^p b} . \label{chom}
\end{equation}
Cette équation est le résultat clé de cette section. D'abord, afin d'obtenir un
taux de chômage de long terme entre zéro et un, nous supposons que:
\[
m^w m^p b < 1 .
\]
Le taux de chômage dépend à long terme de facteurs reliés à l'offre agrégée: le
pouvoir de monopole des syndicat capté par $m^w$, le pouvoir de monopole des
firmes sur le marché des biens et services capté par $m^p$, et le coût
d'opportunité $b$ qui mesure entre autres la générosité du système de bien-être
social (et/ou le système d'assurance chômage). Dans le cas où $\sigma
\rightarrow \infty$, nous avons le cas limite où l'élasticité de demande de
travail par les firmes est infinie et la marge $m^w$ est unitaire --- c'est le
cas de la concurrence parfaite sur le marché du travail. Les travailleurs
reçoivent un salaire réel égal à leur productivité marginale. Dans ce cas, il
n'y a pas de chômage à long terme.

Le taux de chômage à long terme dépend de façon positive de $m^w$, de $m^p$ et
de $b$.

\section{Coûts d'ajustement, rigidité réelle et rigidité salariale}

\stepcounter{equation} \stepcounter{equation}

Supposons maintenant une situation où, au départ, les syndicats choisissent de
façon optimale leur salaire. Le taux de chômage est donné par (\ref{chom}). Un
choc (dont l'origine n'est pas spécifiée) arrive qui fait augmenter le taux de
chômage. On peut poser la question suivante. Est-ce que les syndicats vont
ajuster tout de suite leur salaire s'ils doivent payer un coût fixe d'ajustement
pour le faire?

Simplifions encore l'hypothèse concernant ce que le travailleur moyen peut
gagner s'il n'a pas un emploi:
\[
b = c w .
\]
On suppose que le travailleur reçoit une fraction $c$ du salaire réel moyen dans
l'économie sous forme de prestations d'assurance chômage. La fraction du salaire
réel moyen qu'un chômeur peut toucher en paiements d'assurance chômage ou de
bien-être social est communément appelé le \flq taux de remplacement \frq. Nous
avons:
\begin{equation}
v = \left( 1 - (1-c) u \right) w = v(u) . 
\end{equation}
Sachant que $w = 1/m^p$ on voit que $v$ est fonction seulement de
$u$. Substituant dans (\ref{salopt}) nous avons:
\begin{equation}
\frac{W_i}{P} = w_i = m^w \left( 1 - (1-c) u \right) w .
\label{opt2}
\end{equation}
Avec tout ceci. l'objectif du syndicat devient:
\begin{equation}
\Omega = \Omega \left( w_i , u  \right)
= \left( w_i - v(u) \right) \frac{1-u}{n} \left( m^p w_i \right)^{-\sigma} .
\end{equation}
On écrit $\Omega \left( w_i , u  \right)$ pour souligner que l'objectif du
syndicat $\Omega$ est fonction du salaire réel dans le secteur $i$ et du taux de
chômage.

Supposez qu'initialement
\[
\bar{w}_i = m^w v\left( \bar{u} \right) ,
\]
où $\bar{u}$ est le taux de chômage d'équilibre de long terme. Suite au choc, le
taux de chômage augmente au niveau $u>\bar{u}$. Le nouveau salaire optimal est
\[
w_i m^w v \left( u \right) .
\]
Le gain pour le syndicat d'ajuster son salaire peut s'écrire:
\begin{equation}
UL = \Omega \left( w_i , u  \right) -
\Omega \left( \bar{w}_i , u  \right) .
\end{equation}
On peut écrire une expansion de Taylor du deuxième ordre de $\Omega \left(
  \bar{w}_i , u  \right)$ de la manière suivante:
\[
\Omega \left( \bar{w}_i , u  \right) \approx
\Omega \left( w_i , u  \right)
+ \frac{\partial \Omega \left( \bar{w}_i , u  \right)}{\partial w_i}
\left( \bar{w}_i - w_i \right)
\]
\begin{equation}
+ \frac{1}{2} 
\frac{\partial^2 \Omega \left( \bar{w}_i , u  \right)}
{\left( \partial w_i \right)^2}
\left( \bar{w}_i - w_i  \right)^2 .
\end{equation}
Puisque nous évaluons la dérivée première étant donné le choix optimal du
salaire, elle doit être égale à zéro. Ceci nous donne:
\[
\Omega \left( \bar{w}_i , u  \right) \approx
\Omega \left( w_i , u  \right)
+ \frac{1}{2} 
\frac{\partial^2 \Omega \left( \bar{w}_i , u  \right)}
{\left( \partial w_i \right)^2}
\left( \bar{w}_i - w_i  \right)^2
\]
\begin{equation}
\Rightarrow UL = 
- \frac{1}{2} 
\frac{\partial^2 \Omega \left( \bar{w}_i , u  \right)}
{\left( \partial w_i \right)^2}
\left( \bar{w}_i - w_i  \right)^2 . \label{UL}
\end{equation}
Nous pouvons en fait évaluer cette dérivée seconde, même si c'est un peu ardu de
le faire. (Voir aussi la note 11 à la page 13 du manuel.) Nous avons:
\[
\Omega \left( \bar{w}_i , u  \right) =
\left( w_i - v(u)  \right)
\left( \frac{1-u}{n} \right)
\left( m^p w_i \right)^{-\sigma} .
\]
Donc, nous avons
\[
\frac{\partial \Omega \left( \bar{w}_i , u  \right)}{\partial w_i}
= \left( \frac{1-u}{n} \right)
\left(
\left( m^p w_i \right)^{-\sigma} - \sigma m^p \left( w_i - v(u)  \right)
\left( m^p w_i \right)^{-\sigma-1}
\right) .
\]
Donc,
\[
\frac{\partial^2 \Omega \left( \bar{w}_i , u  \right)}
{\left(\partial w_i\right)^2} =
\]
\[
\left( \frac{1-u}{n} \right) \left(
-\sigma m^p \left( m^p w_i \right)^{-\sigma-1}
+(\sigma+1)\sigma m^p \left( w_i - v(u)  \right)
\left( m^p w_i \right)^{-\sigma-2}
- \sigma m^p \left( m^p w_i \right)^{-\sigma-1}
\right)
\]
\[
= \sigma m^p \left( \frac{1-u}{n} \right)
\left(
m^p (\sigma+1) \left( w_i - v(u)  \right)
\left( m^p w_i \right)^{-\sigma-2}
- 2 \left( m^p w_i \right)^{-\sigma-1}
\right)
\]
\[
= \sigma m^p \left( \frac{1-u}{n} \right)
\left( m^p w_i \right)^{-(\sigma+1)}
\left(
(\sigma+1) \frac{\left( w_i - v(u)  \right)}{w_i} - 2
\right) .
\]
Utilisant $m^w = \sigma/(\sigma-1)$, l'équation (\ref{salopt}) nous donne:
\[
\frac{\left( w_i - v(u)  \right)}{w_i} = \frac{1}{\sigma} .
\]
Substituant dans l'équation précédente, nous obtenons
\[
\frac{\partial^2 \Omega \left( \bar{w}_i , u  \right)}
{\left(\partial w_i\right)^2} =
\sigma m^p \left( \frac{1-u}{n} \right)
\left( m^p w_i \right)^{-(\sigma+1)}
\left(
\frac{(\sigma+1)}{\sigma}  - 2 \frac{\sigma}{\sigma}
\right)
\]
\[
= - \sigma m^p \left( \frac{1-u}{n} \right)
\left( m^p w_i \right)^{-(\sigma+1)}
\left( \frac{\sigma-1}{\sigma} \right)
\]
\[
= - \sigma  \frac{m^p}{m^w} \left( \frac{1-u}{n} \right)
\left( m^p w_i \right)^{-(\sigma+1)} .
\]
Substituant dans (\ref{UL}), nous obtenons
\[
UL = \frac{1}{2} \sigma \frac{m^p}{m^w} \left( \frac{1-u}{n} \right)
\left( m^p w_i \right)^{-(\sigma+1)}
\left( \bar{w}_i - w_i  \right)^2 .
\]
Nous savons que
\[
w_i L_i = w_i \left( \frac{1-u}{n} \right) \left( m^p w_i \right)^{-\sigma} .
\]
Donc, nous avons
\[
\frac{UL}{w_i L_i} =
\frac{\frac{1}{2} \sigma \frac{m^p}{m^w} \left( \frac{1-u}{n} \right)
\left( m^p w_i \right)^{-(\sigma+1)}
\left( \bar{w}_i - w_i  \right)^2}
{w_i \left( \frac{1-u}{n} \right) \left( m^p w_i \right)^{-\sigma}}
\]
\[
= \frac{1}{2} \sigma m^p \frac{(\sigma-1)}{\sigma} \frac{1}{m^p}
\frac{1}{w_i} \frac{1}{w_i} \left( \bar{w}_i - w_i  \right)^2
\]
\begin{equation}
\Rightarrow \frac{UL}{w_i L_i}
= \frac{(\sigma-1)}{2}
\left( \frac{\bar{w}_i - w_i}{w_i} \right)^2 .
\end{equation}
Nous avons réussi à exprimer le gain de changer le salaire au salaire optimal
comme une fraction de la masse salariale dans le secteur $i$. Notez que ça
dépend du changement proportionnelle du salaire optimal.

À partir de l'équation (\ref{opt2}) nous avons:
\[
\bar{w}_i = m^w \left( 1 - (1-c) \bar{u} \right) \bar{w}
\]
et
\[
w_i = m^w \left( 1 - (1-c) u \right) \bar{w} .
\]
Ici, on suppose que le salaire réel moyen dans l'économie n'est pas modifié par
rapport à son niveau initial $\bar{w}$. Substituant, nous obtenons
\[
\frac{\bar{w}_i - w_i}{w_i} =
\frac{m^w \left( 1 - (1-c) \bar{u} \right) \bar{w} -
m^w \left( 1 - (1-c) u \right) w}{
m^w \left( 1 - (1-c) u \right) w}
\]
\begin{equation}
\Rightarrow \frac{\bar{w}_i - w_i}{w_i}
= \frac{(1-c)(u-\bar{u})}{1-(1-c)u}
\end{equation}

À partir des deux dernières équations, nous pouvons évaluer le gain d'ajuster le
salaire, ou le coût de ne pas l'ajuster. Avant de le faire, notez qu'avec notre
hypothèse concernant $b$, l'équation (\ref{chom}) se simplifie:
\[
\bar{u} = \frac{m^w-1}{m^w - m^w m^p c w}
\]
\[
= \frac{m^w-1}{m^w - m^w m^p c \frac{1}{m^p}}
\]
\[
= \frac{m^w-1}{m^w(1-c)}
\]
\begin{equation}
\Rightarrow \bar{u} = \frac{1}{\sigma} \frac{1}{(1-c)}
\end{equation}
Si on suppose des valeurs $\bar{u}=0.05$ et $c=0.5$, ceci nous donne la valeur
de $\sigma$ qui doit être égale à 40. Supposons un taux de chômage après le choc
égal à 0.07. Il s'agit donc d'un choc substantiel qui fait augmenter le taux de
chômage par deux points de pourcentage.

Nous avons:
\[
\Rightarrow \frac{UL}{w_i L_i}
= \frac{(\sigma-1)}{2}
\left( \frac{(1-c)(u-\bar{u})}{1-(1-c)u} \right)^2
\]
\[
= \frac{(40-1)}{2}
\left( \frac{0.5 \times 0.02}{1-0.5 \times 0.07} \right)^2
\]
\[
\approx 0.00209 .
\]
Le gain si le syndicat ajuste son salaire équivaut à 0.2\% de la masse salariale
dans le secteur.

Si le coût d'ajuster le salaire (les coûts d'obtenir l'information nécessaire
pour calculer le nouveau salaire optimal, le coût des négotiations salariales,
etc.) sont plus élevés que 0.2\% de la masse salaire, le syndicat va choisir de
garder son salaire nominal fixe face au choc.

Autrement dit, si les autres syndicats dans d'autres secteurs n'ajustent pas
leurs salaires, le syndicat dans le secteur $i$ de l'économie ne va pas ajuster
son salaire. Une façon technique de dire ceci est de dire que l'absence
d'ajustement de la part de tous les syndicats est un équilibre de
Nash.\footnote{Tel qu'indiqué en classe, le gain que nous venons de calculer est
le gain à l'intérieur d'une seule période. Dans la mesure que le choc qui fait
augmenter le taux de chômage a des effets persistents, il faut comptabiliser
aussi les gains futurs anticipés.}

\subsection{Rigidités réelles et rigidité salariale}

Pour choisir de ne pas ajuster son salaire face à une augmentation imprévue du
taux de chômage, il faut que le gain d'ajuster ne dépasse pas le coût
d'ajustement. L'expression qui nous donne le gain est:
\[
\Rightarrow \frac{UL}{w_i L_i}
= \frac{(\sigma-1)}{2}
\left( \frac{\bar{w}_i - w_i}{w_i} \right)^2 .
\]
À l'intérieur de la parenthèse, on voit par combien le syndicat ajusterait son
salair s'il décide de le faire. Dans la mesure où la taille de l'ajustement est
petite, on parle de \textbf{rigidité réele}.

\subsection{Coûts individuels, coûts sociaux}

Il est possible pour le coût individuel de ne pas changer son salaire (prix)
soit faible tandis que le coût social soit élevé. Ceci est un des grands thèmes
de la macro moderne, version keynésienne.

\section{Conclusion}

\vspace{.1in}
[À venir]

\vspace{.25in} \noindent
Dernière modification : \textbf{19/01/2010}

\end{document}