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\title{ECO3022 : Macroéconomie III \\
Analyse de la demande agrégée}

\author{Steve Ambler et Alain Guay \thanks{Ces notes sont en cours de
    développement. Nous avons besoin de vos commentaires et de vos suggestions
    pour les améliorer. Vous pouvez nous faire part de vos commentaires en
    personne ou en envoyant un message à
    \href{mailto:ambler.steven@uqam.ca}{\texttt{ambler.steven@uqam.ca}}.} \\
  Département des sciences économiques \\
  École des sciences de la gestion \\
  Université du Québec à Montréal \\
  \copyright 2012 : Steve Ambler et Alain Guay}

\date{Automne 2012}

\usepackage[pdftex,bookmarks,colorlinks]{hyperref}

\doublespacing

\begin{document}

\raggedright

\maketitle

\newpage
\tableofcontents

\section{Introduction}

Les chapitres qui suivent jettent les bases du modèle d'équilibre général avec
rigidités qui sera notre modèle de base du cycle économique. Une fois l'analyse
de la demande agrégée et de l'offre agrégée complétée, nous allons pouvoir
évaluer la capacité du modèle d'expliquer le cycle économique et étudier les
objectifs de la politique monétaire et la politique monétaire optimale.

Ce chapitre porte sur la demande agrégée.

Objectifs du cours:
\begin{itemize}
\item Dériver la courbe de demande agrégée à partir des conditions d'équilibre
  sur le marché des biens et services et le marché monétaire.
\item Cette courbe de demande agrégée nous donnera une relation négative entre
  le taux d'inflation et le produit réel.
\item Étudier deux façons de modéliser la politique monétaire: par le contrôle
  du stock monétaire et par le contrôle du taux d'intérêt nominal de court
  terme.
\item La règle pour fixer le taux d'intérêt nominal va mener à une relation
  positive entre le taux d'intérêt et l'inflation.
\item En mettant ensemble ces deux relations, nous trouverons une relation
  négative entre le taux d'inflation et le produit qui est compatible avec
  l'équiibre simultané sur le marché des biens et services et sur le marché
  monétaire.
\item Analyser les facteurs qui influencent la pente de la courbe de demande
  agrégée.
\end{itemize}

\section{Équilibre sur le marché des biens et services}

En économie fermée, la demande se décompose de la manière suivante:
\begin{equation}
Y = C + I + G ,
\end{equation}
où $Y$ est le PIB, $C$ les dépenses de consommation, $I$ les dépenses
d'investissement et $G$ les dépenses publiques, avec toutes les variables
mesurées en termes réels.

Nous allons spécifier des fonctions simples pour l'investissement et pour la
consommation. Ceci n'est pas très différent par rapport à l'approche keynésienne
classique. Les modèles néokeynésiens mettent davantage d'accent sur les
microfondements de la demande. Voir entre autres le livre de Galí (2008), ou les
chapitres 14 et 15 du manuel.

Fonction d'investissement:
\begin{equation}
I = I\left( Y \; , \; r \; , \; \varepsilon \right) ,
\end{equation}
où $I$ représente les dépenses réelles d'investissement, $r$ est le taux
d'intérêt réel, et $\varepsilon$ est un choc qui capte le degré d'optimisme, la
croissance espérée, et d'autres facteurs pouvant influencer les dépenses
d'investissement. On suppose:
\[
I_Y \equiv \frac{\partial I}{\partial Y} > 0, 
\]
\[
I_r \equiv \frac{\partial I}{\partial r} < 0 ,
\]
\[
I_{\varepsilon} \equiv \frac{\partial I}{\partial \varepsilon} > 0 .
\]

Fonction de consommation:
\begin{equation}
C = C\left( Y-T \; , \; r \; , \; \varepsilon \right) ,
\end{equation}
où $T$ représente les taxes. On suppose:
\[
0 < C_Y \equiv \frac{\partial C}{\partial (Y-T)} < 1 ,
\]
\[
C_r \equiv \frac{\partial C}{\partial r} < 0 ,
\]
\[
C_{\varepsilon} \equiv \frac{\partial C}{\partial \varepsilon} > 0 .
\]

Voir les chapitres 14 et 15 pour une analyse plus détaillée des déterminants de
la consommation et de l'investissement.

Supposons un budget équilibré: $G=T$. Avec $D \equiv C+I$, nous avons:
\begin{equation}
Y = D \left( Y \; , \; G \; , \; r \; , \; \varepsilon \right) + G .
\end{equation}

\subsection{Propriétés de la fonction de demande privée}

Nous avons
\begin{equation}
0 < D_Y = \frac{\partial D}{\partial Y} = C_Y + I_Y < 1 ;
\end{equation}
\begin{equation}
D_G = \frac{\partial D}{\partial G} = -\frac{\partial D}{\partial (Y-T)}
= -C_Y < 0 ;
\end{equation}
\begin{equation}
D_r = \frac{\partial D}{\partial r} = C_r + I_r < 0 ;
\end{equation}
\begin{equation}
D_{\varepsilon} = \frac{\partial D}{\partial \varepsilon} 
= C_{\varepsilon} + I_{\varepsilon} > 0 .
\end{equation}

\subsection{Approximation autour des valeurs tendancielles}

Le but de cette sous-section est d'exprimer les déviations proportionnelles (ou
en logs) du PIB comme une fonction linéaire des dépenses publiques, du taux
d'intérêt réel, et du choc $\varepsilon$. Nous allons représenter la valeur
tendancielle du PIB par $\bar{Y}$. Cela nous permettra, par la suite, d'éliminer
le taux d'intérêt réel en substituant la condition d'équilibre sur le marché
monétaire. Cela permettra aussi que calibrer certains paramètres (attribuer des
valeurs numériques à ces paramètres).

Nous utiliserons quelques manipulations algébriques afin de réécrire la
condition d'équilibre. Ces manipulations ressemblent aux méthodes utilisés pour
ré\-sou\-dre et simuler des modèles beaucoup plus compliqués, y compris les
modèles de projection utilisés dans les banques centrales.

Nous avons
\begin{equation}
Y-\bar{Y} = 
D_Y \left( Y - \bar{Y} \right) - C_Y \left( G - \bar{G} \right)
+ D_r \left( r - \bar{r} \right) 
+ D_{\varepsilon} \left( \varepsilon - \bar{\varepsilon} \right)
+ \left( G - \bar{G} \right) 
\end{equation}
\[
\Rightarrow
\left( 1 - D_Y \right) \left( Y-\bar{Y} \right)
= \left( 1 - C_Y \right) \left( G - \bar{G} \right)
+ D_r \left( r - \bar{r} \right) 
+ D_{\varepsilon} \left( \varepsilon - \bar{\varepsilon} \right)
\]
Définissons $\bar{m} \equiv 1/\left( 1 - D_Y \right)$. Nous avons (divisant des
deux côtés de l'équation précédente par $\bar{Y}$):
\begin{equation}
\frac{ \left( Y - \bar{Y} \right) }{\bar{Y}}
= \bar{m} \frac{\bar{G}}{\bar{Y}} \left( 1 - C_Y \right)
\frac{ \left( G - \bar{G} \right) }{\bar{G}}
+ \bar{m} \frac{D_r}{\bar{Y}} \left( r - \bar{r} \right)
+ \bar{m} \frac{ \bar{\varepsilon} D_{\varepsilon} }{\bar{Y}}
\frac{\left( \varepsilon - \bar{\varepsilon} \right)}{\bar{\varepsilon}} .
\label{ten}
\end{equation}
Nous avons exprimé les variables de l'équation en déviations proportionnelles
par rapport à leurs valeurs de long terme. Maintenant, définissons:
\[
y \equiv \ln(Y) , \qquad \bar{y} \equiv \ln \left( \bar{Y} \right) ,
\]
et
\[
g \equiv \ln(G) , \qquad \bar{g} \equiv \ln \left( \bar{G} \right) .
\]
Nous savons par une approximation de Taylor du premier ordre autour du point
$\left( Y=\bar{Y} \right)$ que
\[
\ln(Y) \approx \ln(\bar{Y}) + \frac{1}{\bar{Y}} (Y - \bar{Y})
\]
et donc
\[
y - \bar{y} \approx \frac{1}{\bar{Y}} (Y - \bar{Y}) .
\]
Nous pouvons réécrire l'équation (\ref{ten}) de manière simple comme:
\begin{equation}
y - \bar{y} = \alpha_1 \left( g - \bar{g} \right)
- \alpha_2 \left( r - \bar{r} \right) + v \label{eleven}
\end{equation}
où
\begin{equation}
\alpha_1 \equiv \bar{m} \left( 1 - C_Y \right) \frac{\bar{G}}{\bar{Y}} ,
\qquad \alpha_2 \equiv - \bar{m} \frac{D_r}{\bar{Y}} ,
\qquad v \equiv \bar{m} \frac{\bar{\varepsilon} D_{\varepsilon}}{\bar{Y}}
\left( \ln \varepsilon - \ln \bar{\varepsilon} \right) .
\end{equation}
Le taux d'intérêt d'équilibre de long terme $\bar{r}$ peut se trouver comme la
solution implicite à l'équation suivante:
\begin{equation}
\bar{Y} = 
D \left( \bar{Y} \; , \; \bar{G} \; , \; 
\bar{r} \; , \; \bar{\varepsilon} \right)
+ \bar{G} .
\end{equation}

\section{Marché monétaire et politique monétaire}

Commençons avec l'équation d'équilibre sur le marché monétaire suivante:
\begin{equation}
\frac{M}{P} = L \left( Y \; , \; i \right)
\end{equation}
où $i$ est le taux d'intérêt nominal de court terme. Cette équation est de la
forme de la courbe LM que vous avez peut-être vue dans un cours de macro
précédent. Nous supposons la forme fonctionnelle suivante:
\begin{equation}
L \left( Y \; , \; i \right) = k Y^{\eta} e^{-\beta i} . \label{fifteen}
\end{equation}

Nous distinguons entre deux façons différentes de modéliser la politique
mo\-né\-tai\-re. La première (sous-section suivante) est une règle de taux de
croissance constant du stock monétaire à la Milton Friedman. La deuxième est une
règle pour choisir directement le taux d'intérêt nominal de court terme proposée
par John Taylor (dans la sous-section après).

\subsection{Équilibre avec une règle de croissance du stock monétaire}

C'est Friedman qui suggère qu'une règle de taux de croissance constant du stock
monétaire peut stabiliser le taux de croissance de l'output nominal et peut
stabiliser à la fois l'inflation et les fluctuations du PIB réel. On peut
comprendre ce lien en consid\'erant pour l'équation (\ref{fifteen}) que
$\beta=0$ et $\eta=1$, on a alors:
\begin{eqnarray*}
M=k P Y.
\end{eqnarray*}
En contrôlant le taux de croissance $M$, l'autorité monétaire peut contrôler le
taux de croissance de l'output nominal. Nous allons examiner ce que cette règle
implique pour le comportement du taux d'intérêt.

On suppose
\[
M = (1+\mu) M_{-1}
\]
et
\[
P = (1+\pi) P_{-1}
\]
où $M$ est le stock monétaire,\footnote{On sait qu'il y a plusieurs définitions
  du stock monétaire. Pour nous fins, nous pouvons penser à $M$ comme un stock
  monétaire relativement étroit comme $M1$.} où $M_{-1}$ indique le stock
monétaire de la période passée, et où $\pi$ est le taux d'inflation entre la
période passée et la période courante.

Nous avons directement à partir de l'équation (\ref{fifteen}), la règle de
croissance du stock monétaire et la définition de l'inflation:
\begin{equation}
\frac{(1+\mu)}{(1+\pi)} \frac{M_{-1}}{P_{-1}} =
k Y^{\eta} e^{-\beta i} . \label{sixteen}
\end{equation}
Supposons maintenant qu'en $t-1$ (la période précédente) nous avons
\[
\frac{M_{-1}}{P_{-1}} = L^* ,
\]
la valeur d'équilibre de long terme des encaisses réelles. Nous avons à long
terme:
\begin{equation}
L^* = k \bar{Y}^{\eta} e^{-\beta (\bar{r}+\mu)} , \label{seventeen}
\end{equation}
où nous utilisons la relation de Fisher qui dit que
\[
i = r + \pi^e
\]
où $\pi^e$ est le taux d'inflation anticipé. À long terme, le taux d'inflation
doit être égal au taux de croissance monétaire puisque les encaisses réelles
doivent être constantes. Le taux d'inflation anticipé doit également être égal
au taux d'inflation réalisé, et nous avons alors
\[
i = \bar{r} + \mu .
\]

Transformant en logs et utilisant
\[
L = \frac{1+\mu}{1+\pi} L^* ,
\]
nous obtenons à partir de l'équation (\ref{sixteen}):
\begin{equation}
\mu - \pi + \ln \left( L^* \right) = \ln(k) + \eta y - \beta i .
\label{eighteen}
\end{equation}
Nous avons aussi utilisé les approximations:
\[
\ln \left(1+\mu\right) \approx \mu ,
\]
et
\[
\ln \left(1+\pi\right) \approx \pi .
\]
Maintenant, à partir de (\ref{seventeen}) nous avons:
\begin{equation}
\ln \left( L^* \right) = \ln(k) + \eta \bar{y}
- \beta \left( \bar{r} + \mu \right) . \label{nineteen}
\end{equation}
Soustrayant (\ref{nineteen}) de (\ref{eighteen}) nous obtenons:
\[
\beta i = \eta \left( y - \bar{y} \right)
+ \beta \left( \bar{r} + \mu \right) - \mu + \pi .
\]
\[
\Rightarrow i = \bar{r} + \mu - \frac{1}{\beta} \mu
+ \frac{1}{\beta} \pi
+  \frac{\eta}{\beta} \left( y - \bar{y} \right) .
\]
Après simplification, ceci nous donne:
\begin{equation}
i = \bar{r} + \pi + \left( \frac{1-\beta}{\beta} \right)
\left( \pi -\mu \right) +  \frac{\eta}{\beta} \left( y - \bar{y} \right) .
\label{twenty}
\end{equation}
Si $\beta<1$ nous avons
\[
\frac{\partial i}{\partial \pi} = 1 + \left( \frac{1-\beta}{\beta} \right)
> 1 .
\]
La réponse (ceci n'est pas un résultat qui tient en équilibre général) du taux
d'intérêt à une variation du taux d'inflation est plus qu'unitaire.

\subsection{Équilibre avec la règle de Taylor}

On suppose que la banque centrale vise à stabiliser les fluctuations de
l'inflation et de l'écart de production en contrôlant directement le taux
d'intérêt nominal de court terme. Nous allons supposer:
\begin{equation}
i = \bar{r} + \pi + h \left( \pi - \pi^* \right) + b \left( y - \bar{y} \right)
\label{twentyone}
\end{equation}
avec $h>0$ et $b>0$. Ici, $\pi^*$ a l'interprétation de la cible choisie par la
banque centrale pour le taux d'inflation. L'équation (\ref{twentyone}) est à
comparer avec l'équation (\ref{twenty}). La forme fonctionnelle est identique à
celle de l'équation (\ref{twenty})\footnote{Dans la première équation il y a le
  taux de croissance du stock monétaire tandis que dans la deuxième il y a la
  cible d'inflation. À long terme, les deux doivent être égaux.} mais les
coefficients ont des interprétations économiques radicalement différentes. Avec
une règle de taux de croissance du stock monétaire, les coefficients sont reliés
aux élasticité-revenu et semi-élasticité-prix de la demande de monnaie. Avec la
règle de Taylor, les coefficients sont choisis directement par la banque
centrale et dépendent de son aversion relative aux fluctuations de l'inflation
par rapport aux fluctuations de l'écart de revenu.

Dans le cas où le taux d'intérêt de court terme est l'instrument de la banque
centrale et où sont comportement est bien décrit par la règle de Taylor, on
suppose que la quantité d'encaisses dans l'économie est déterminée directement
par la demande de monnaie. Dans la mesure où les encaisses $M$ n'apparaissent
pas dans une autre condition d'équilibre, il n'y a pas de rétroaction entre les
encaisses et l'économie.

\section{La courbe de demande agrégée}

\stepcounter{equation} \stepcounter{equation} \stepcounter{equation}
\stepcounter{equation} \stepcounter{equation} \stepcounter{equation}
\stepcounter{equation} \stepcounter{equation}

Commençons par reformuler la règle de Taylor comme:
\begin{equation}
i = \bar{r} + \pi^e_{+1} + h \left( \pi - \pi^* \right) +
b \left( y - \bar{y} \right) .
\end{equation}
Le taux d'inflation entre $t$ et $t+1$ n'est pas directement observable. Il faut
supposer que la banque centrale connaît les attentes
inflationnistes. Soustrayant le taux d'inflation anticipé des deux côtés de
l'équation et utilisant la relation de Fisher, nous avons:
\begin{equation}
r = \bar{r} + h \left( \pi - \pi^* \right) +
b \left( y - \bar{y} \right) .
\end{equation}
C'est comme si la banque centrale peut contrôler directement le taux d'intérêt
réel. Soustrayant $\bar{r}$ des deux côtés de cette équation et substituant dans
l'équation (\ref{eleven}), nous obtenons finalement
\[
y - \bar{y} =
\alpha_1 \left( g - \bar{g} \right)
- \alpha_2 \left( h \left( \pi - \pi^* \right) +
b \left( y - \bar{y} \right) \right) + v ,
\]
\[
\Rightarrow 
\left( 1 + \alpha_2 b \right) \left( y - \bar{y} \right)
= \alpha_2 h \left( \pi^* - \pi \right)
+ v + \alpha_1 \left( g - \bar{g} \right)
\]
ce qui donne après simplification:
\begin{equation}
y - \bar{y} =
\alpha \left( \pi^* - \pi \right) + z
\end{equation}
où
\begin{equation}
\alpha \equiv \frac{\alpha_2 h}{1+\alpha_2 b} ,
\qquad
z \equiv \frac{v+\alpha_1 \left( g - \bar{g} \right)}{1+\alpha_2 b} .
\end{equation}
La courbe de la demande agrégée est donc à pente négative dans l'espace
$(y,\pi)$ puisque $\alpha_2 > 0$ et $h > 0$. L'intuition est la suivante: un
taux d'inflation plus élevé que la cible entraîne la banque centrale à augmenter
le taux d'intérêt réel (pour une valeur de $h > 0$). La hausse du taux d'intérêt
réel diminue alors la demande privée pour les biens et services.

\subsection{Pente de la courbe de demande agrégée}

Réécrivons la courbe de demande agrégée en isolant $\pi$:
\begin{equation}
\pi = \pi^* + \frac{1}{\alpha} z - \frac{1}{\alpha}
\left( y - \bar{y} \right) .
\end{equation}

Une banque centrale qui est très préoccupée par les fluctuations de l'inflation
($h$ élevé, $b$ faible) va résulter en une courbe DA relativement plâte, tandis
que si la banque est très préoccupée par les fluctuations de l'écart d'output
($h$ faible, $b$ élevé), DA va avoir une pente très abrupte.

Notez que $b$ figure dans la définition du choc $z$. Si $b$ est élevé, l'impact
d'une variation donnée de $v$ ou de $g$ sur le PIB sera plutôt faible.

\subsection{Facteurs de déplacement de la courbe de demande
agrégée}

La courbe de demande est une relation entre l'écart du produit
$\left(y-\bar{y}\right)$ et l'inflation $\pi$, pour des valeurs données du taux
d'inflation cible $\pi^*$ et de $z$. Une variation de $z$ provoque un
déplacement de la courbe dans le plan $\pi / y$. Donc, une variation de la
politique fiscale $(g-\bar g)$ ou une variation des anticipations de la
croissance $v$ entra\^inera un d\'eplacement de la courbe de la demande
agr\'eg\'ee.

\section{Conclusion}

Dans le chapitre suivant, nous allons nous pencher sur la courbe d'offre
a\-gré\-gée et ses fondements. Par la suite, nous mettrons ensemble l'analyse de
la demande agrégée et de l'offre agrégée pour parler d'équilibre
macroéconomique.

\vspace{.25in} \noindent
Dernière modification : \textbf{06/02/2012}

\end{document}