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\title{ECO 3022: Macroéconomie III \\
Exercice 1}

\author{Steve Ambler\\
Département des sciences économiques\\
École des sciences de la gestion\\
Université du Québec  Montréal\\
{\copyright} 2010, Steve Ambler}

\date{Automne 2010}

\begin{document}

\maketitle

Veuillez écrire lisiblement. Veuillez bien \textbf{agrafer} les feuilles de
votre tp ensemble avant de le remettre. Date de remise du tp: lundi le 35
octobre 2010 à 12h30 (la fin du cours). Je vais afficher les solutions tout de
suite après le cours. Pour cette raison, les copies remises en retard ne seront
pas acceptées. Vous êtes libres de travailler seul(e)s ou en groupe. J'encourage
la collaboration -- discuter avec les collègues est sans doute la meilleure
façon d'apprendre. Par contre, le nombre maximal de membres par groupe ne peut
dépasser 4 personnes. Veuillez remettre seulement une copie en notant les noms
de tous les membres du groupe sur la première page.

\raggedright

\section{Modèle de cycles réels avec capital (45 points)}

Soit une économie composée de ménages qui durent deux périodes.  La première
période, un ménage n'a pas de capital et fournit une unité de travail sur le
marché du travail. La deuxième période il ne travaille pas et gagne un revenu en
louant le capital qu'il accumule en première période sur un marché de location
du capital concurrentiel. Sa fonction d'utilité dépend de sa consommation durant
les deux périodes de son existence:
\[
U = \ln \left( C_t \right) + \beta \ln \left( C_{t+1} \right) .
\]
On fait abstraction de l'incertitude ici (on pourrait facilement en tenir
compte, mais il s'agirait d'introduire des opérateurs d'espérance
conditionnelle, une complication inutile). Soit $s_t$ son taux d'épargne, qu'il
choisit de façon optimale. Sa consommation la première période est donnée par
\[
C_t = (1-s_t) w_t ,
\]
où $w_t$ est le salaire réel concurrentiel. Sa consommation la deuxième période
est donnée par
\[
C_{t+1} = R_{t+1} K_{t+1} = R_{t+1} S_t = R_{t+1} s_t w_t ,
\]
où $R_t$ est le taux de location concurrentiel du capital et $S_t$ est l'épargne
du ménage. On suppose une économie fermée sans gouvernement et où le capital se
déprécie à un taux de 100\%, et donc
\[
K_{t+1} = I_t = S_t = s_t w_t .
\]
Il y a une firme concurrentielle qui maximise son profit en embauchant des
travailleurs et en louant du capital. Son profit est donné par
\[
\pi_t = Y_t - w_t L_t - R_t K_t = ( A_t L_t )^{(1-\alpha)} {K_t}^{\alpha}
- w_t L_t - R_t K_t ,
\]
où $A_t$ est une mesure du progrès technique. Si on normalise la population de
jeunes ménages à un, il faut que $L_t = 1$ à l'équilibre. Supposez une loi de
mouvement pour $A_t$ comme dans le manuel ou dans les notes de cours:
\[
A_t = g t + s_t ,
\]
une fonction déterministe du temps et d'un choc technologique $s_t$.
\begin{enumerate}
\item Substituez les expressions pour $C_t$ et $C_{t+1}$ en fonction de $s_t$
  dans la fonction d'utilité du ménage. Le problème de maximisation de l'utilité
  devient ainsi un problème de choisir le taux d'épargne $s_t$ afin de maximiser
  l'utilité. Écrivez la condition du prèmier ordre de ce problème de
  maximisation.
\item Écrivez la solution pour $s_t$. Quelle est la relation entre le facteur
  d'escompte subjectif $\beta$ et le taux d'épargne. Si le ménage devient plus
  impatient, est-ce son taux d'épargne augmente ou diminue?
\item Quelles sont les variables de choix de la firme représentative? Écrivez
  les conditions du premier ordre du problème de la firme.
\item Écrivez une expression pour le taux de location d'équilibre en fonction du
  progrès technique $A_t$ et du stock de capital $K_t$.
\item Écrivez une expression pour le salaire réel d'équilibre en fonction du
  progrès technique et du stock de capital.
\item Écrivez des expressions pour les déviations proportionnelles des variables
  suivantes par rapport à leurs valeurs tendantielles: $Y_t$, $C_t$, $K_t$,
  $w_t$, $R_t$, $\frac{Y_t}{L_t}$ (la productivité moyenne du travail). Vous
  pouvez, comme dans le manuel, supposer une valeur constante de $k* =
  \frac{\bar{K}_t}{\bar{A}_t \bar{L}_t}$.
\item Sans faire de simulations numériques, commentez la pro-cyclicité de ces
  variables tel que prédite par le modèle. Est-ce que ces prédictions
  correspondent bien aux faits observés? (Vous pouvez prendre $R_t$, le taux de
  location du capital, comme une mesure du taux d'intérêt réel de court terme.
\end{enumerate}

\section{Faits caractéristiques du cycle canadien (55 points)}

Cherchez des données par le biais de \og E-Stat \fg{~} sur le PIB canadien et
les composantes de la demande agrégée. Pour ce faire,\footnote{Un grand merci à
  Pavel Sevcik pour ces renseignements.}
\begin{enumerate}
\item Aller sur le site-web des bibliothèques de l’UQAM.
\item Dans \og Ressources électroniques \fg{~} cliquer sur \og Données
  statistiques \fg.
\item Dans le tableau qui apparaît cliquer sur \og E-STAT \fg. (Attention : ne
  pas cliquer sur CANSIM, qui renvoie à la version payante de la base de données
  !)
\item Dans la page de description du produit, cliquer sur le logo de E-STAT, en
  haut à droite.
\item Lire et accepter la licence d’utilisation.
\item Cliquer sur \og recherche dans CANSIM sur E-STAT \fg.
\item Vous pouvez maintenant chercher les données soit par sujet dans la colonne
  à droite, soit par une recherche des mots-clés.
\item Téléchargez toutes les séries du Tableau 380-0002 sur le PIB en termes de
  dépenses pour l'échantillon maximal (qui devrait être de 1961:1 à
  2010:1). Choisizzez \og Aux prix constants de 2002 \fg.
\end{enumerate}
Avec ces données,
\begin{enumerate}
\item Créez des séries pour les composantes principales du PIB, soit $C$, $I$,
  $G$, $X$ (exportations) et $IM$ (importations). Justifiez votre choix de
  séries (par exemple, on décompose la consommation en plusieurs catégories, et
  donc il faut faire un choix de composantes).
\item Calculez les composantes cycliques du PIB et des composantes principales
  de la demande agrégée utilisant le filtre Hodrick-Prescott. Vous pouvez
  utiliser Eviews ou un programme semblable, ou la routine développée pour Excel
  disponible à l'adresse suivante, \\
\url{http://www.web-reg.de/hp_addin.html}, \\
  ou le programme de votre choix. Consultez la page suivante pour plusieurs
  possibilités: \\
\url{http://dge.repec.org/codes.html}. \\
  Si vous utilisez la routine Excel, téléchargez le fichier hpfilter.zip,
  décompressez ce fichier, chargez le fichier HP-Example.xls dans Excel (ou dans
  OpenOffice Calc) et suivez les instructions.
\item Une fois les composantes cycliques calculées, calculez les
  autocorrélations des ordres un à quatre pour toutes les séries et calculez les
  corrélations (contemporaines) entre le PIB et toutes ses composantes.
\item Commentez ce que vous trouvez.

\end{enumerate}

\vspace{.25in} \noindent
Dernière modification : \textbf{12/10/2010}

\end{document}