\documentclass[12pt]{article}
\usepackage{times}
\usepackage{setspace}
\usepackage[dvips]{graphics}
\usepackage[frenchb]{babel}
\usepackage{ucs}
\usepackage[utf8x]{inputenc}
\usepackage{amssymb,amsmath}
\usepackage[pdftex,bookmarks,colorlinks]{hyperref}

\title{ECO 3022: Macroéconomie III \\
Exercice 1 : Réponses}

\author{Steve Ambler\\
Département des sciences économiques\\
École des sciences de la gestion\\
Université du Québec  Montréal\\
{\copyright} 2010, Steve Ambler}

\date{Automne 2010}

\begin{document}

\maketitle

\section{Modèle de cycles réels avec capital (45 points)}

\begin{enumerate}
\item La fonction d'utilité peut s'écrire
\[
U = \ln \left( (1-s_t) w_t \right) + \beta \ln \left( R_{t+1} s_t w_t \right) .
\]
La condition du premier ordre du problème de maximisation du ménage est
\[
\frac{- w_t}{(1-s_t) w_t} + \frac{\beta R_{t+1} w_t}{ R_{t+1} s_t w_t } = 0
\]

\item À partir de la condition du premier ordre nous avons
\[
\frac{1}{(1-s_t)} = \frac{\beta}{s_t}
\]
\[
\Rightarrow \beta (1-s_t) = s_t
\]
\[
\Rightarrow s_t = \frac{\beta}{1+\beta} .
\]
Le facteur d'escompte $\beta$ est relié directement à $s_t$, le taux
d'épargne. Un ménage plus impatient se traduit par un $\beta$ plus faible, et
donc par un taux d'épargne plus faible.
\item Nous sommes en concurrence parfaite. La firme choisit ses intrants, le
  travail ($L_t$) et le capital ($K_t$) pour maximiser ses profits. Les
  conditions du premier ordre sont:
\[
L_t: \quad (1-\alpha) {A_t}^{(1-\alpha)} {K_t}^{\alpha} {L_t}^{-\alpha} - w_t = 0 ;
\]
\[
K_t: \quad \alpha (A_t L_t)^{(1-\alpha)} {K_t}^{(\alpha-1)} - R_t = 0 .
\]
\item Nous savons qu'à l'équilibre $L_t=1$, et donc nous n'avons qu'à utiliser
  la CPO pour le capital:
\[
R_t = \alpha {A_t}^{(1-\alpha)} {K_t}^{(\alpha-1)} .
\]
\item Encore une fois, nous n'avons qu'à isoler $w_t$ à partir ede la CPO pour
  le travail:
\[
w_t = (1-\alpha) {A_t}^{(1-\alpha)} {K_t}^{\alpha}
\]
\item D'abord, écrivons un système d'équations complet qui définit l'équilibre
  dans cette économie. Nous avons
\[
Y_t = {A_t}^{(1-\alpha)} {K_t}^{\alpha} .
\]
La consommation agrégée est donnée par la somme des dépenses de consommation par
le jeune ménage et des dépenses de consommation par le vieux ménage:
\[
C^a_t = \left( 1- s_t \right) w_t + R_t K_t
\]
\[
= \left( 1 - \frac{\beta}{1+\beta} \right)(1-\alpha) {A_t}^{(1-\alpha)}
{K_t}^{\alpha} + \alpha {A_t}^{(1-\alpha)} {K_t}^{(\alpha-1)} K_t .
\]
Nous avons aussi
\[
w_t = (1-\alpha) {A_t}^{(1-\alpha)} {K_t}^{\alpha} ,
\]
\[
R_t = \alpha {A_t}^{(1-\alpha)} {K_t}^{(\alpha-1)} ,
\]
\[
\frac{Y_t}{L_t} = Y_t = {A_t}^{(1-\alpha)} {K_t}^{\alpha} ,
\]
\[
K_{t+1} = \frac{\beta}{1+\beta} w_t = 
\frac{\beta}{1+\beta} (1-\alpha) {A_t}^{(1-\alpha)} {K_t}^{\alpha} .
\]
Nous avons donc six équations pour déterminer les six inconnus. Notez que si
nous calculons la somme de l'investissement et de la consommation agrégée, nous
avons
\[
C^a_t + K_{t+1} = \frac{1}{1+\beta} w_t + R_t K_t +
\frac{\beta}{1+\beta} w_t
\]
\[
= w_t + R_t K_t = w_t L_t + R_t K_t = Y_t
\]
puisque les paiements aux facteurs (travail et capital) épuisent le produit en
concurrence parfaite avec rendements constants à l'échelle (théorème d'Euler).

Ces équations doivent aussi tenir à long terme, et donc nous avons
\[
\bar{Y}_t = {\bar{A}_t}^{(1-\alpha)} {\bar{K}_t}^{\alpha} ,
\]
\[
\bar{C}_t = \frac{1}{1+\beta} (1-\alpha) {\bar{A}_t}^{(1-\alpha)}
{\bar{K}_t}^{\alpha} + \alpha {\bar{A}_t}^{(1-\alpha)} {\bar{K}_t}^{\alpha} ,
\]
\[
\bar{w}_t = (1-\alpha) {\bar{A}_t}^{(1-\alpha)} {\bar{K}_t}^{\alpha} ,
\]
\[
\bar{R}_t = \alpha {\bar{A}_t}^{(1-\alpha)} {\bar{K}_t}^{(\alpha-1)} ,
\]
\[
\frac{\bar{Y}_t}{\bar{L}_t} = {\bar{A}_t}^{(1-\alpha)} {\bar{K}_t}^{\alpha} ,
\]
\[
\bar{K}_{t+1} = \frac{\beta}{1+\beta} (1-\alpha) {\bar{A}_t}^{(1-\alpha)}
{\bar{K}_t}^{\alpha}
\]
Nous pouvons maintenant calculer le ratio des équations de court terme sur les
équations de long terme afin de trouver
\[
\frac{Y_t}{\bar{Y}_t} = \left( \frac{A_t}{\bar{A}_t} \right)^{(1-\alpha)}
\left( \frac{K_t}{\bar{K}_t} \right)^{\alpha} ,
\]
\[
\frac{C_t}{\bar{C}_t} =
\left( \frac{A_t}{\bar{A}_t} \right)^{(1-\alpha)}
\left( \frac{K_t}{\bar{K}_t} \right)^{\alpha} ,
\]
\[
\frac{w_t}{\bar{w}_t} =
\left( \frac{A_t}{\bar{A}_t} \right)^{(1-\alpha)}
\left( \frac{K_t}{\bar{K}_t} \right)^{\alpha} ,
\]
\[
\frac{R_t}{\bar{R}_t} =
\left( \frac{A_t}{\bar{A}_t} \right)^{(1-\alpha)}
\left( \frac{K_t}{\bar{K}_t} \right)^{(\alpha-1)} ,
\]
\[
\frac{Y_t/L_t}{\bar{Y}_t/\bar{L}_t} =
 \left( \frac{A_t}{\bar{A}_t} \right)^{(1-\alpha)}
\left( \frac{K_t}{\bar{K}_t} \right)^{\alpha}
\]
\[
\frac{K_{t+1}}{\bar{K}_{t+1}} =
\left( \frac{A_t}{\bar{A}_t} \right)^{(1-\alpha)}
\left( \frac{K_t}{\bar{K}_t} \right)^{\alpha} .
\]
Finalement, utilisant la même notation que dans les notes et dans le livre, que
pour une variable quelconque $X_t$ nous avons
\[
\widehat{x}_t \equiv \ln(X_t) = \ln(\bar{X}_t) ,
\]
nous pouvons écrire
\[
\widehat{y}_t = (1-\alpha) \widehat{a}_t + \alpha \widehat{k}_t ,
\]
\[
\widehat{c}_t =
(1-\alpha) \widehat{a}_t + \alpha \widehat{k}_t ,
\]
\[
\widehat{w}_t = (1-\alpha) \widehat{a}_t
+ \alpha \widehat{k}_t ,
\]
\[
\widehat{r}_t = (1-\alpha) \widehat{a}_t - (1-\alpha)
\widehat{k}_t ,
\]
\[
\widehat{y/l}_t = (1-\alpha) \widehat{a}_t
+ \alpha \widehat{k}_t ,
\]
\[
\widehat{k}_{t+1} =
\alpha \widehat{k}_t + (1-\alpha) \widehat{a}_t ,
\]
où nous avons défini $\widehat{y/l}_t$ comme
\[
\widehat{y/l}_t \equiv \ln(Y_t) - \ln(\bar{Y}_t) - \left(
\ln(L_t) - \ln(\bar{L}_t)
\right) .
\]
\item En regardant ces solutions, nous constatons tout de suite que le salaire
  réel, la consommation, la productivité moyenne du travail et l'investissement
  sont parfaitement pro cycliques. Le taux de location sera fortement pro
  cyclique aussi. Ces prédictions ne sont pas très conformes aux données. Le
  salaire réel n'est pas fortement pro cyclique, la productivité moyenne du
  travail non plus, le taux d'intérêt réel de court terme non plus.
\end{enumerate}

\section{Faits caractéristiques du cycle canadien (55 points)}

J'ai téléchargé le fichier tp120103.xls qui contient les données brutes
téléchargées et importées dans OpenOffice Calc, les données transformées
utilisant la routine Excel suggérée dans l'énoncé, et le calcul des
statistiques.

\vspace{.25in} \noindent
Dernière modification : \textbf{12/10/2010}

\end{document}