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\title{ECO 3022: Macroéconomie III \\
Exercice 2}

\author{Steve Ambler\\
Département des sciences économiques\\
École des sciences de la gestion\\
Université du Québec  Montréal\\
{\copyright} 2010, Steve Ambler}

\date{Automne 2010}

\begin{document}

\maketitle

Veuillez écrire lisiblement. Veuillez bien \textbf{agrafer} les feuilles de
votre tp ensemble avant de le remettre. Date de remise du tp: lundi le 13
décembre à 12h30 (la fin du cours). Je vais afficher les solutions tout de suite
après le cours. Pour cette raison, les copies remises en retard ne seront pas
acceptées. Vous êtes libres de travailler seul(e)s ou en groupe. J'encourage la
collaboration -- discuter avec les collègues est sans doute la meilleure façon
d'apprendre. Par contre, le nombre maximal de membres par groupe ne peut
dépasser 4 personnes. Veuillez remettre seulement une copie en notant les noms
de tous les membres du groupe sur la première page (avec les codes permanents).

Je vous demande de travailler avec le modèle de cycles réels de l'examen
intra. Le modèle comprend des chocs d'offre de travail, des chocs de
productivité, et des chocs monétaires. Voici un rappel des éléments clés du
modèle. Le questionnaire de l'examen est disponible sur le site du cours.

C'est une économie concurrentielle (marché du travail et marché des biens et
services). Il y a une firme représentative et un ménage représentative. La
fonction de production agrégée est
\[
Y_t = B_t {L_t}^{(1-\alpha)} , \quad 0 < \alpha < 1 ,
\]
où $Y_t$ est le PIB, $B_t$ est le niveau de la technologie (progrès
technique), est $L_t$ représente les heures travaillées. Le profit réel de la
firme est donnée par
\[
\nu_t = Y_t - w_t L_t ,
\]
où $\nu_t$ est son profit et $w_t$ est le salaire réel. L'offre de travail
par le ménage représentatif est donnée par
\[
L_t = D_t \left( \frac{w_t}{\bar{w}_t} \right)^{\eta} , \quad \eta > 0 ,
\]
où $w_t$ est le salaire réel et $\bar{w}_t$ est le salaire réel de long terme ou
tendantiel. L'équivalent à long terme de la fonction de production agrégée est
\[
\bar{Y}_t = \bar{B}_t {\bar{L}_t}^{(1-\alpha)} ,
\]
où comme d'habitude les barres sur les variables donnent les niveaux tendantiels
ou de long terme.

Une version de la théorie quantitative de la monnaie s'applique, et que
\[
\frac{M_t}{P_t} V_t = Y_t ,
\]
où $M_t$ est le stock monétaire et $V_t$ est la vitesse de circulation de la
monnaie. L'équivalent de long terme de cette equation est:
\[
\frac{\bar{M}_t}{\bar{P}_t} {\bar{V}}_t = \bar{Y}_t .
\]
Supposons une fonction de réaction de la banque centrale qui fait varier l'écart
du stock monétaire pour réagir contre et diminuer les fluctuations du PIB
nominal:
\[
\hat{m}_t = - \psi \left( \hat{y}_t + \hat{p}_t \right) , \quad 0 < \psi < 1 ,
\]
avec la notation habituelle. Il s'agit d'une règle de stabilisation du revenu
nominal.

Les variables exogènes du modèle sont le choc de productivité $B_t$, le choc
d'offre de travail $D_t$ et la vitesse de circulation de la monnaie $V_t$.
Supposez les processus stochastiques suivants pour les chocs:
\[
\ln(B_t) - ln(\bar{B}_t) \equiv \hat{b}_t
= \rho \hat{b}_{t-1}
+ \varepsilon_t , \quad \varepsilon_t \sim N(0, \sigma^2_{\varepsilon}) ,
\]
\[
\ln(D_t) - \ln(\bar{D}_t) \equiv \hat{d}_t
= \omega \hat{d}_{t-1}
+ \mu_t , \quad \mu_t \sim N(0, \sigma^2_{\mu}) ,
\]
\[
\ln(V_t) - \ln(\bar{V}_t) \equiv \hat{v}_t
= \theta \hat{v}_{t-1}
+ \nu_t , \quad \nu_t \sim N(0, \sigma^2_{\nu}) ,
\]

Utilisez les valeurs de paramètres suivantes pour simuler le modèle. \\
\begin{center}
\begin{tabular}{ll}
Paramètre & Valeur \\
$\eta$ & 0.75 \\
$\alpha$ & 0.33 \\
$\psi$ & 0.50 \\
$\rho$ & 0.95 \\
$\sigma_{\varepsilon}$ & 0.10 \\
$\omega$ & 0.50 \\
$\sigma_{\mu}$ & 0.10 \\
$\theta$ & 0.50 \\
$\sigma_{\nu}$ & 0.10 \\
\end{tabular}
\end{center}

\begin{enumerate}
\item Trouvez des solutions algébriques pour les écarts proportionnels par
  rapport aux valeurs tendantielles des variables suivantes: le produit
  $\hat{y}_t$, l'emploi $\hat{l}_t$, le salaire réel $\hat{w}_t$, le niveau des
  prix $\hat{p}_t$, la productivité moyenne du travail $\widehat{y/l}_t$. La
  productivité moyenne du travai est définie en niveaux comme
  $\frac{Y_t}{L_t}$. Toutes les solutions devraient être en fonction des chocs
  eoxgènes $\hat{b}_t$, $\hat{d}_t$ et/ou $\hat{v}_t$. Montrez votre travail.
\item Étant données les solutions de la sous-question précédente (et sans faire
  de simulations), est-ce que le modèle sera capable de générer des fluctuations
  persistantes des variables endogènes en l'absence de chocs persistants
  ($\rho=\omega=\theta=0$)? Expliquez.
\item Simulez le modèle pour les valeurs de base des paramètres (voir ci-dessus)
  et pour 100 périodes. Pour toutes les variables endogènes, calculez leurs
  variabilités, leurs variabilités relatives (ratio de l'écart type par rapport
  à l'écart type du PIB), leur corrélation avec $\hat{y}_t$, et leur persistance
  mesurée par les autocorrélations d'ordres 1 à 4. Pour des conseils sur
  comment simuler le modèle, voir plus loin. Vous aurez besoin de 3 séries
  d'innovations de 100 périodes pour $\varepsilon$, $\mu$ et $\nu$. Utilisez les
  valeurs du fichier tp2201003.xls disponible sur le site du cours, générées
  utilisant le programme disponible à
  \url{http://www.wessa.net/rwasp_rngnorm.wasp}. Toutes les va\-leurs
  correspondent à une loi normale avec moyenne zéro et variance unitaire.
\item Si vous faites varier le paramètre $\sigma_{\nu}$, qui affecte la
  variabilité du choc à la vitesse de circulation de la monnaie, comment est-ce
  que les propriétés des variables réelles changent? Expliquez ce que vous
  trouvez.
\item Si vous faites varier le paramètre $\sigma_{\mu}$, qui affecte la
  variabilité du choc à l'offre de travail, comment est-ce que la corrélation
  entre le salaire réel et $\hat{y}_t$ change? Expliquez ce que vous trouvez.
\end{enumerate}

Voici quelques conseils pour les simulations.
\begin{enumerate}
\item Vous pouvez utiliser une partie du chiffrier pour contenir les valeurs des
  paramètres structurels.
\item Afin de générer des chocs avec la variance voulue, il faut multiplier les
  séries dans le fichier Excel que je vous ai fourni par leurs écarts types.
\item Attention à la distinction entre adresses relatives et adresses absolues
  en Excel. Vous allez devoir utiliser les deux.
\end{enumerate}

\vspace{.25in} \noindent
Document créé le : \textbf{30/11/2010}

\end{document}
