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\title{ECO 3022: Macroéconomie III \\
Exercice 2: Réponses}

\author{Steve Ambler\\
Département des sciences économiques\\
École des sciences de la gestion\\
Université du Québec  Montréal\\
{\copyright} 2010, Steve Ambler}

\date{Automne 2010}

\begin{document}

\maketitle

\begin{enumerate}
\item La démarche pour résoudre le modèle est identique à celle de l'examen
  intra: résoudre le problème de maximisation des profits par la firme pour
  trouver la courbe de demande de travail, égaliser offre et demande de
  travailler pour trouver l'emploi d'équilibre et le salaire réel d'équilibre,
  substituer l'emploi d'équilibre dans la fonction de production agrégée pour
  trouver le produit d'équilibre, et finalement utiliser la théorie quantitative
  de la monnaie pour trouver le niveau des prix d'équilibre. La fonction de
  profits peut s'écrire
\[
\nu_t = B_t {L_t}^{(1-\alpha)} - w_t L_t .
\]
La CPO pour maximiser le profit en choisissant $L_t$ est
\[
(1-\alpha) B_t {L_t}^{-\alpha} - w_t = 0
\]
\[
\Rightarrow L_t = \left( \frac{w_t}{(1-\alpha) B_t} \right)^{-1/\alpha} ,
\]
ce qui donne une courbe de demande de travail à pente négative dans le plan $w_t
/ L_t$.
Égalisant offre et demande de travail on a
\[
\left( \frac{w_t}{(1-\alpha) B_t} \right)^{-1/\alpha}
= D_t \left( \frac{w_t}{\bar{w}_t} \right)^{\eta}
\]
\[
\Rightarrow {w_t}^{\eta+1/\alpha} = 
\left( (1-\alpha) B_t \right)^{1/\alpha}
{\bar{w}_t}^{\eta} \frac{1}{D_t}
\]
\[
\Rightarrow w_t =
\left( (1-\alpha) B_t \right)^{\frac{1}{1+\alpha \eta}}
{\bar{w}_t}^{\frac{\alpha \eta}{1+\alpha \eta}}
{D_t}^{\frac{-\alpha}{1+\alpha \eta}}
\]
Substituant dans la courbe de demande de travail, nous avons
\[
L_t = \left( (1-\alpha) B_t \right)^{1/\alpha} {w_t}^{-1/\alpha}
\]
\[
= \left( (1-\alpha) B_t \right)^{1/\alpha}
\left(
\left( (1-\alpha) B_t \right)^{\frac{1}{1+\alpha \eta}}
{\bar{w}_t}^{\frac{\alpha \eta}{1+\alpha \eta}}
{D_t}^{\frac{-\alpha}{1+\alpha \eta}}
\right)^{-1/\alpha} .
\]
Simplifiant, nous obtenons
\[
L_t = {\bar{w}_t}^{\frac{-\eta}{1+\alpha \eta}}
\left( (1-\alpha) B_t \right)^{\frac{\eta}{1+\alpha \eta}}
{D_t}^{\frac{1}{1+\alpha \eta}} .
\]
L'équivalent à long terme de cette équation est
\[
\bar{L}_t = {\bar{w}_t}^{\frac{-\eta}{1+\alpha \eta}}
\left( (1-\alpha) \bar{B}_t \right)^{\frac{\eta}{1+\alpha \eta}}
{\bar{D}_t}^{\frac{1}{1+\alpha \eta}} .
\]
Calculant le ratio de ces deux équations, nous obtenons
\[
\frac{L_t}{\bar{L}_t} =
\left( \frac{B_t}{\bar{B}_t} \right)^{\frac{\eta}{1+\alpha \eta}}
\left( \frac{D_t}{\bar{D}_t} \right)^{\frac{1}{1+\alpha \eta}} .
\]
En logs, ceci donne
\[
\widehat{l}_t = \frac{\eta}{1+\alpha \eta} \widehat{b}_t
+ \frac{1}{1+\alpha \eta} \widehat{d}_t .
\]
En ce qui concerne le salaire réel, l'équivalent à long terme de la solution
pour le salaire réel est
\[
\Rightarrow \bar{w}_t =
\left( (1-\alpha) \bar{B}_t \right)^{\frac{1}{1+\alpha \eta}}
{\bar{w}_t}^{\frac{\alpha \eta}{1+\alpha \eta}}
{\bar{D}_t}^{\frac{-\alpha}{1+\alpha \eta}} .
\]
Calculant le ratio de la solution pour $w_t$ et cette équation, nous obtenons
\[
\frac{w_t}{\bar{w}_t} =
\left( \frac{B_t}{\bar{B}_t} \right)^{\frac{1}{1+\alpha \eta}}
\left( \frac{D_t}{\bar{D}_t} \right)^{\frac{-\alpha}{1+\alpha \eta}} .
\]
En logs,
\[
\widehat{w}_t =
\frac{1}{1+\alpha \eta} \widehat{b}_t
- \frac{\alpha}{1+\alpha \eta} \widehat{d}_t .
\]
Directement à partir de la fonction de production agrégée, nous avons
\[
\frac{Y_t}{\bar{Y}_t} = \frac{B_t}{\bar{B}_t}
\left( \frac{L_t}{\bar{L}_t} \right)^{(1-\alpha)}
\]
En logs,
\[
\widehat{y}_t = \widehat{b}_t + (1-\alpha) \widehat{l}_t .
\]
Substituant la solution pour $\widehat{l}_t$ dans cette équation, nous obtenons
\[
\widehat{y}_t = \widehat{b}_t + (1-\alpha)
\left(
\frac{\eta}{1+\alpha \eta} \widehat{b}_t
+ \frac{1}{1+\alpha \eta} \widehat{d}_t
\right)
\]
\[
\Rightarrow \widehat{y}_t =
\frac{1+\eta}{1+\alpha \eta} \widehat{b}_t 
+ \frac{1-\alpha}{1+\alpha \eta} \widehat{d}_t .
\]
Maintenant, nous pouvons facilement calculer les solutions pour d'autres
variables comme la productivité moyenne. Nous avons
\[
\log \left( \frac{Y_t/L_t}{\bar{Y}_t/\bar{L}_t} \right)
= \widehat{y}_t - \widehat{l}_t .
\]
Substituant les solutions pour $\widehat{y}_t$ et $\widehat{l}_t$, nous obtenons
\[
\widehat{y}_t - \widehat{l}_t
= \frac{1+\eta}{1+\alpha \eta} \widehat{b}_t 
+ \frac{1-\alpha}{1+\alpha \eta} \widehat{d}_t
- \frac{\eta}{1+\alpha \eta} \widehat{b}_t
- \frac{1}{1+\alpha \eta} \widehat{d}_t .
\]
Simplifiant, nous obtenons
\[
\widehat{y}_t - \widehat{l}_t = 
 \frac{1}{1+\alpha \eta} \widehat{b}_t 
- \frac{\alpha}{1+\alpha \eta} \widehat{d}_t .
\]
Notez que toutes les solutions jusqu'à ce point sont pour des variables
réelles. Ces solutions ne dépendent point de $V_t$ ou plutôt de $\widehat{v}_t$,
la vitesse de circulation de la monnaie. Celle-ci influencera seulement le
niveau des prix et d'autres variables nominales du modèle. En ce qui concerne le
niveau des prix, directement à partir de l'équation de la théorie quantitative
de la monnaie:
\[
\widehat{p}_t = \widehat{m}_t + \widehat{v}_t - \widehat{y}_t .
\]
Substituant la règle monétaire du questionnaire pour éliminer $\widehat{m}_t$
nous obtenons
\[
\widehat{p}_t = - \psi \left( \widehat{y}_t + \widehat{p}_t \right) +
\widehat{v}_t - \widehat{y}_t .
\]
Simplifiant,
\[
\widehat{p}_t = \frac{1}{1+\psi} \widehat{v}_t - \widehat{y}_t .
\]
Substituant la solution pour le produit nous obtenons
\[
\widehat{p}_t = \frac{1}{1+\psi} \widehat{v}_t -
\frac{1+\eta}{1+\alpha \eta} \widehat{b}_t 
- \frac{1-\alpha}{1+\alpha \eta} \widehat{d}_t .
\]
Nous constatons que la règle monétaire a l'effet de stabiliser le niveau des
prix face aux fluctuations de la vitesse de circulation, mais ne change pas
l'impact de chocs réels sur le niveau des prix.

Nous avons exprimé toutes les solutions en fonction des chocs exogènes du
modèle.
\item Les solutions pour toutes les variables du modèle dépendent de valeurs
  courantes des chocs. Il n'y a aucune variable retardée dans les
  solutions. Cela veut dire que, si les chocs ne sont pas persistants, les
  variables endogènes ne le seront pas non plus. Par exemple, dans le cas du
  produit nous avons
\[
\widehat{y}_t =
\frac{1+\eta}{1+\alpha \eta} \widehat{b}_t 
+ \frac{1-\alpha}{1+\alpha \eta} \widehat{d}_t
\]
\[
\Rightarrow \widehat{y}_{t-1} =
\frac{1+\eta}{1+\alpha \eta} \widehat{b}_{t-1} 
+ \frac{1-\alpha}{1+\alpha \eta} \widehat{d}_{t-1} .
\]
Sachant que
\[
\mbox{E} \widehat{y}_t = \widehat{y}_{t-1} = 0,
\]
ceci implique
\[
\mbox{Cov} \left( \widehat{y}_t , \widehat{y}_{t-1} \right)
= \mbox{E} \left( \widehat{y}_t  \widehat{y}_{t-1}  \right)
- \left( \mbox{E} \widehat{y}_t \right) \left( \mbox{E} \widehat{y}_{t-1}
\right) = \mbox{E} \left( \widehat{y}_t  \widehat{y}_{t-1}  \right)
\]
\[
= \mbox{Cov} \left( \frac{1+\eta}{1+\alpha \eta} \widehat{b}_t 
+ \frac{1-\alpha}{1+\alpha \eta} \widehat{d}_t \; , \;
\frac{1+\eta}{1+\alpha \eta} \widehat{b}_{t-1} 
+ \frac{1-\alpha}{1+\alpha \eta} \widehat{d}_{t-1}
\right) .
\]
Si les deux chocs $\widehat{b}_t$ et $\widehat{d}_t$ ne sont pas corrélés
(autrement dit, si $\mbox{Cov}\left( \widehat{b}_t , \widehat{d}_t \right) =
0$), nous avons
\[
\mbox{Cov} \left( \widehat{y}_t , \widehat{y}_{t-1} \right)
= \left( \frac{1+\eta}{1+\alpha \eta} \right)^2
\mbox{Cov} \left( \widehat{b}_t , \widehat{b}_{t-1} \right)
+ \left( \frac{1-\alpha}{1+\alpha \eta} \right)^2
\mbox{Cov} \left( \widehat{d}_t , \widehat{d}_{t-1} \right) .
\]
Si l'autocorrélation du premier ordre des chocs est zéro, l'autocorrélation du
premier ordre du produit sera également zéro. Notez qu'il ne fallait pas
reproduire ce raisonnement algébrique -- une explication intuitive suffisait.
\item Voir le fichier Excel suivant: exer1032b.xls, dans le répertoire
  habituel.
\item Les propriétés de ces variables ne changent point, puisque leurs solutions
  sont indépendantes de la vitesse de circulation de la monnaie. C'est un
  exemple du principe de la \textbf{neutralité monétaire}.
\item Au fur et à mesure que la variabilité de l'offre de travail augmente, la
  corrélation entre le salaire réel et l'emploi diminue. Pensez à un graphique
  du marché du travail avec $w_t$ sur l'axe vertical et $L_t$ sur l'axe
  horizontal. Une variation de $D_t$ provoque un comouvement inverse entre le
  salaire réel et l'emploi. L'emploi est relié directement au produit par la
  fonction de production agrégée étant donnée le niveau de $B_t$, et donc une
  variation de $D_t$ provoque un comouvement inverse entre le salaire réel et le
  produit. Plus importants sont les chocs d'offre de travail, plus importants
  seront ces comouvements inverses, et moins élevée sera la corrélation entre le
  salaire réel et le produit.
\end{enumerate}

\vspace{.25in} \noindent
Document créé le : \textbf{30/11/2010}

\end{document}
