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\title{ECO 3022: Macroéconomie III \\
Exercice 2}

\author{Steve Ambler\\
Département des sciences économiques\\
École des sciences de la gestion\\
Université du Québec  Montréal\\
{\copyright} 2012, Steve Ambler}

\date{Hiver 2012}

\begin{document}

\maketitle

Veuillez écrire lisiblement. Veuillez bien \textbf{agrafer} les feuilles de
votre tp ensemble avant de le remettre. Date de remise du tp: lundi le 16 avril
à 12h30 (la fin du cours). Je vais afficher les solutions tout de suite après le
cours. Pour cette raison, les copies remises en retard ne seront pas
acceptées. Vous êtes libres de travailler seul(e)s ou en groupe. J'encourage la
collaboration -- discuter avec les collègues est sans doute la meilleure façon
d'apprendre. Par contre, le nombre maximal de membres par groupe ne peut
dépasser 4 personnes. Veuillez remettre seulement une copie en notant les noms
de tous les membres du groupe sur la première page (avec les codes permanents).

\section*{Modèle à simuler}

Je vous demande de simuler numériquement une économie avec les caractéristiques
suivantes.
\begin{enumerate}
\item Il y a une firme représentative concurrentielle.
\item Les intrants de la firme sont le travail et le capital.
\item Il y a un gouvernement qui a des dépenses publiques financées par des
  taxes forfaitaires et déterminées par un processus stochastique.
\item Le salaire réel est fixé à l'avance. Il est donné par le salaire réel
  qui aurait donné l'équilibre walrasien sur le marché du travail en période
  $t-1$ . Cette hypothèse est \emph{ad hoc} mais introduit une déviation par
  rapport à l'équilibre walrasien qui permet à l'emploi de subir des
  fluctuations par rapport au modèle de cycles réels.
\item Les individus épargnent une fraction constante de leur revenu disponible.
\end{enumerate}

Voici les détails. La fonction de production agrégée est donée par
\[
Y_t = A_t {K_t}^{\alpha} {L_t}^{(1-\alpha)}
\]
où $Y_t$ est le PIB, $K_t$ est le stock de capital, $L_t$ est l'emploi, et $A_t$
est le progrès technique. L'offre de travail est donnée par une fonction
semblable à celle que nous avons vue lors de notre étude du modèle de cycles
réels:
\[
L_t = B_t \left( \frac{w_t}{\bar{w} }  \right)^{\eta}
\]
où $w_t$ est le salaire réel et $\bar{w}$ est le salaire réel de long terme (qui
dans ce modèle sera constant). La loi de mouvement du capital est
\[
K_{t+1} = (1-\delta) K_t + I_t
\]
où $I_t$ représente les dépenses d'investissement. Le ménage reçoit son salaire,
possède le stock de capital et loue le capital à la firme représentative, et
doit payer des taxes forfaitaires au gouvernement. Sa contrainte budgétaire est
\[
w_t L_t + R_t K_t - T_t = C_t + I_t
\]
où $R_t$ est le taux de location du capital et $T_t$ représente les taxes
forfaitaires payées par le ménage. Ainsi, la fonction de profit (en temes réels)
de la firme est
\[
\Pi_t = A_t {K_t}^{\alpha} {L_t}^{(1-\alpha)} - w_t L_t - R_t K_t
\]
Le ménage épargne une fraction constante $s$ de son revenu disponible. Puisque
c'est le ménage qui gère le stock de capital, on a
\[
s \left( w_t L_t + R_t K_t - T_t \right) = I_t
\]

Le salaire réel est celui qui aurait donné l'équilibre (offre égale demande) sur
le marché du travail en période $t-1$. Soit $w^*_{t-1}$ le salaire d'équilibre
walrasien. Il doit satisfaire
\[
L^d(w^*_{t-1}) = L^s(w^*_{t-1}) = B_t \left( \frac{w^*_{t-1}}{\bar{w}} \right)^{\eta}
\]
où je distingue explicitement entre l'offre de travail et la demande de travail
(une fonction que vous allez devoir trouver comme solution au problème de
maximisation des profits par la firme). Nous supposons que
\[
w_t = w^*_{t-1} .
\]
Étant donné le salaire réel $w_t$, l'emploi réalisé en temps $t$ est donné par
la demande de travail.

Les dépenses publiques $G_t$ sont financées par les taxes forfaitaires:
\[
G_t = T_t .
\]

On suppose les processus stochastiques suivants pour $A_t$, $B_t$ et $G_t$:
\[
\frac{(A_t - \bar{A})}{\bar{A}} = \rho_A \frac{(A_{t-1} - \bar{A})}{\bar{A}}
+ \varepsilon_A ,
\quad \varepsilon_E \sim N \left( 0 , \sigma^2_A \right) ;
\]
\[
\frac{(B_t - \bar{B})}{\bar{B}} = \rho_B \frac{(B_{t-1} - \bar{B})}{\bar{B}}
+ \varepsilon_B ,
\quad \varepsilon_B \sim N \left( 0 , \sigma^2_A \right) ;
\]
\[
\frac{(G_t - \bar{G})}{\bar{G}} = \rho_G \frac{(G_{t-1} - \bar{G})}{\bar{G}}
+ \varepsilon_G ,
\quad \varepsilon_G \sim N \left( 0 , \sigma^2_A \right) .
\]
Ici, les $\rho_i$ sont des paramètres qui mesurent la persistance des
fluctuations de ces trois variables, et les $\varepsilon_i$ sont des innovations
imprévisibles suivant une loi normale avec espérance nulle et variance
constante. Finalement, les variables avec barres

Soit les valeurs de paramètre suivantes: \\

\vspace{.1in}
\begin{center}
\textbf{Calibration du modèle} \\
\begin{tabular}{lll}
\hline
$\alpha$ & 0.33 & part du capital dans le revenu national \\
$\eta$ & 0.50 & élasticité de l'offre de travail \\
$s$ & 0.20 & taux d'épargne à partir du revenu disponible \\
$\delta$ & 0.025 & taux de dépréciation du capital \\
$\bar{G}/\bar{Y}$ & 0.20 & part moyenne des dépenses publiques dans le PIB \\
$\bar{A}$ & 1.00 & Niveau à long terme du progrès technique \\
$\bar{B}$ & 1.00 & Niveau à long terme de l'offre de travail \\
$\rho_G$ & 0.90 & Persistance des dépenses publiques \\
$\rho_A$ & 0.90 & Persistance de la technologie \\
$\rho_B$ & 0.90 & Persistance des fluctuations de l'offre de travail \\
$\sigma_G$ & 0.01 & Écart type de l'innovation aux dépenses pubiques \\
$\sigma_A$ & 0.01 & Écart type de l'innovation au progrès technique \\
$\sigma_B$ & 0.01 & Écart type de l'innovation à l'offre de travail \\
\hline
\end{tabular}
\end{center}


Répondez aux questions suivantes.

\begin{enumerate}
\item Écrivez le problème de maximisation des profits par la firme et ses
  conditions du premier ordre (CPOs).
\item Trouvez la fonction de demande de travail de la firme à partir de la CPO
  par rapport à son choix de $L_t$
\item Montrez que nécessairement
\[
Y_t = w_t L_t + R_t K_t
\]
dans cette économie. (Indice --- c'est une conséquence du fait que la fonction
de production est du type rendements à l'échelle constants.) Ainsi, on peut
écrire l'équation pour les dépenses d'investissement par le ménage comme
\[
I_t = s \left( Y_t - T_t \right) = s \left( Y_t - G_t \right).
\]
\item Trouvez l'équilibre de long terme de l'économie, de la manière suivante. À
  long terme, les innovations $\varepsilon_A$, $\varepsilon_B$ et
  $\varepsilon_G$ sont nulles, le salaire réel est égal à son niveau de long
  terme $\bar{w}$, et le marché du travail est en équilibre. Laissez tomber les
  indices du temps de toutes les variables et écrire les valeurs de long terme
  comme $\bar{Y}$, $\bar{L}$, etc. Vous allez pouvoir trouver des solutions
  algébriques pour toutes les variables du modèle, Notez que je ne vous donne
  pas la valeur à long terme de $\bar{G}$ mais seulement le ratio
  $\bar{G}/\bar{Y}$: il faut donc normaliser $\bar{G}$ par $\bar{Y}$ pour
  trouver la solution.
\item Vous pouvez utiliser \emph{Excel} ou le logiciel de votre choix. Je vous
  donne trois séries d'innovations normales centrées réduites dans le fichier
  texte suivant: \\
  \url{http://www.er.uqam.ca/nobel/r10735/3022/normal.txt} \\
  Vous pouvez utiliser les 100 premières valeurs pour $\varepsilon_A$, les 100
  valeurs qui suivent pour $\varepsilon_B$, et les dernières 100 valeurs pour
  $\varepsilon_G$. J'ai utilisé le programme disponible sur Internet (basé sur
  \emph{R}) à l'adresse suivante: \\
  \url{http://www.wessa.net/rwasp_rngnorm.wasp} \\
  Vous pouvez copier et coller les valeurs dans le programme que vous
  utilisez. N'oubliez pas de transformer les chocs pour obtenir la variance
  appropriée, suivant la règle suivante:
\[
X \sim N(0,1) \Rightarrow \sigma_{\varepsilon} X \sim N(0,\sigma^2_{\varepsilon})
\]
  Je vous demande d'utiliser ces valeurs pour simuler le modèle et générer des
  valeurs pour $Y_t$, $C_t$, $L_t$, $w_t$, $K_t$, $I_t$ et $R_t$ (le dernier
  peut être utilisé pour approximer l'évolution du taux d'intérêt réel de court
  terme dans l'économie). Dans tous les cas sauf $R_t$, mesurer les valeurs en
  déviations proportionnelles par rapport à l'état stationnaire, c'est à dire
\[
\frac{(X_t - \bar{X})}{\bar{X}}
\]
pour une variable quelconque $X_t$. Je vous suggère la démarche suivante si
vous utilisez \emph{Excel}, une démarche qui profite de l'utilisation d'adresses
relatives. Dans chaque colonne vous allez calculez mettre la valeur d'une
variable. Les rangées vont correspondre aux périodes. Dans la première rangée
vous pouvez mettre les valeurs numériques des variables à l'état stationnaire (à
long terme), en ce qu'on peut appeler période $0$. Dans la deuxième rangée, vous
insérez des commandes qui utilisent les valeurs dans la première rangée pour
calculer l'équilibre macroéconomique en période $1$. Si vous faites ceci de
façon judicieuse, vous n'aurez qu'à copier et coller ses commandes à la ligne
suivante pour calculer l'équilibre macroéconomique en période $t+2$.
\item Avec les séries générées, calculez les statistiques suivantes:
\begin{itemize}
\item Les écarts types de toutes les variables.
\item Les corrélations de toutes les variables avec le produit $Y_t$.
\item Les autocorrélations d'ordre un à quatre du produit $Y_t$.
\end{itemize}
Un indice supplémentaire --- notez que le stock de capital est prédéterminé. Si
on connaît sa valeur initiale, on connaît sa valeur en période $1$. Ceci aide à
préserver la récursivité de la solution.
\item Commentez les résultats que vous trouvez.
\end{enumerate}

\vspace{.25in} \noindent
Document créé le : \textbf{09/04/2012}


\end{document}
