\documentclass[12pt]{article}
\usepackage{times}
\usepackage{setspace}
\usepackage[dvips]{graphics}
\usepackage[frenchb]{babel}
\usepackage{ucs}
\usepackage[utf8x]{inputenc}
\usepackage{amssymb,amsmath}
\usepackage[pdftex,bookmarks,colorlinks]{hyperref}

\title{ECO 3022: Macroéconomie III \\
Examen final: Réponses}

\author{Steve Ambler\\
Département des sciences économiques\\
École des sciences de la gestion\\
Université du Québec  Montréal\\
{\copyright} 2012, Steve Ambler}

\date{Hiver 2012}

\begin{document}

\maketitle
\raggedright

\section{Réponses courtes (20 points)}

\begin{enumerate}

\item Le coefficient qui détermine la vitesse de convergence (coefficient
  associé au premier retard de l'écart du produit dans la solution pour l'écart
  du produit, ou le premier retard de l'inflation dans la solution pour
  l'inflation, est plus élevé dans la version du modèle avec attentes
  adaptatives. Ceci suggère un retour pluse lent vers l'équilibre dans le modèle
  sous attentes adaptatives. Par contre, les résultats de simulation rappartés
  dans les tableaux du manuel suggèrent le contraire. Nous savons que sous
  attentes adaptatives, les solutions pour l'inflation et pour l'écart du
  produit imbriquent le premier retard du choc de demande et le premier retard
  du choc d'offre avec le signe opposé. Ceci implique qu'il y a un retour
  substantiel vers l'équilibre la période après qu'un choc de demande (ou un
  chocs d'offre) frappe l'économie. C'est ce phénomène qui domine lorsqu'on
  calcule les fonctions d'autocorrélation.

\item L'inflation est coûteuse si elle est inattendue. Suite à une augmentation
  inattendue de l'inflation, il y a une redistribution de la richesse vers les
  personnes endettées dont les contrats de dette sont dénominés en devises
  nominales. Les détenteurs d'actifs dont la valeur n'est pas indexée perdent
  suite à une augmentation inattendue de l'inflation. Dans la mesure où
  l'inflation n'est pas parfaitement prévisible, l'incertitude quant aux
  rendements réels sur tout actif non indexé augmente, ce qui est nuisible au
  bien-Être de tout individu qui est riscophobe.

Même l'inflation parfaitement anticipée peut être coûteuse pour la société. Dans
la mesure où l'ajustement des prix et/ou des salaires est coûteux, et dans la
mesure où les individus n'ajustent leurs prix (salaires) que pŕiodiquement, un
neveau d'inflation plus élevé peu provoquer une dispersion plus grande de prix
relatifs, une dispaersion qui est en général sous optimal.

\item Une cible d'inflation faible ou zéro a deux inconvénients
  principaux. D'abord, l'économie pourrait se retrouver plus fréquemment dans
  une situation où le taux d'intérêt nominal de court terme atteint sa borne
  inférieure, qui est zéro. Ceci pourrait empêcher la banque centrale d'adopter
  une politique monétaire plus expansionniste même si celle-ci serait
  souhaitable. Deuxièmement, l'ajustement macréconomique pourrait nécissiter une
  baisse du salaire réel. Si l'inflation est très faible (ce qui risque
  d'arriver plus souvent si la cible d'inflation est très faible), une baisse du
  salaire nominal moyen pourrait être nécessaire pour que le salaire réel moyen
  baisse. Or, on observe qu'empiriquement les salaires nominaux ne s'ajustent
  que rarement à la baisse.

\item Même si les individus ne se trompent pas de façon systématique, ils
  peuvent néanmoins se tromper dans la mesure où l'économie est sujette à des
  chocs qui sont imprévisibles. Si la banque observe sans délai l'équilibre
  macroéconomique et si ses actions ont un impact immédiat sur la demande
  agrégée (ce qui est le cas de l'économie du modèle développé dans le chapitre
  19), la banque centrale pourra neutraliser complètement les chocs de demande
  et, face aux chocs d'offre, arriver au compromis entre les fluctuations de
  l'inflation et les fluctuations de l'écart du produit.

\end{enumerate}

\section{Chocs de demande (20 points)}

\begin{enumerate}
\item Lorsque le choc frappe, il y a un déplacement de la courbe de demande vers
  la droite dans la plan $y/\pi$. La nouvelle courbe DA coupe la courbe OA de
  court terme à un point au nord est de l'équilibre avant coup (avant que le
  choc frappe). Si au départ l'économie était à son équilibre de long terme,
  l'ecart du produit devient positif et le taux'inflation devient supérieur au
  taux d'inflation cible.
\item La courbe DA retrouve sa position initiale. Par contre, la courbe OA de
  court terme se déplace suite à une modification des attentes
  inflationnistes. L'inflation anticipée de la période $t+1$ doit être égale à
  l'inflation réalisée en $t$, qui est au dessus de l'inflation cible. Donc en
  $t+1$, la courbe OA de court terme coupe la courbe OA de long terme au point
  où l'inflation égale l'inflation réalisée en $t$. Maintenant, l'équilibre
  macroéconomique doit se retrouver à une position au nord ouest de l'équilibre
  de long terme, avec un écart du produit négatif et un taux d'inflation au
  dessus du taux cible.
\item Le taux d'inflation réalisé en $t+1$ doit être entre le taux d'inflation
  réalisé en $t$ et le taux d'inflation de long terme (la cible). La courbe OA
  de court terme en $t+2$ sera entre celle de la période $t$ et celle de la
  période $t+1$. L'ecart du produit sera un peu moins négatif et l'écart
  d'inflation un peu moins positif. La courbe OA de court terme en $t+3$ sera
  entre celle de la période $t+2$ et celle de la période $t$. L'écart du produit
  sera encore un peu moins négatif et l'écart d'inflation encore un peu moins
  positif. L''economie s'ajuste vers sont éqilibre de long terme par des
  mouvements vers le sud est le long de la courbe DA qui a retrouvé sa position
  initiale. Pour avoir tous les points, il fallait que les déplacements
  illustrés des courbes OA de court terme soient compatibles avec l'hypothèse
  d'attentes statiques.

\end{enumerate}

\section{Chocs d'offre (20 points)}

\begin{enumerate}
\item Il y a une certaine ambiguïté concernant la définition d'un choc d'offre
  \og négatif \fg. Une augmentation de $s$ (augementation des marges ajoutées ou
  baisse de la productivité) fait augmenter les coûts de production à un niveau
  donné de l'écart du produit, et la courbe OA de court terme se déplace vers la
  gauche. Si vous avez commencé avec une baisse de $s$, ça va dans la mesure où
  vous l'avez spécifié de manièr explicite. Si $s$ augmente temporairement, il y
  a un déplacement vers le haut (vers la gauche) de la courbe OA de court
  terme. Le nouvel équilibre macroéconomique se retrouve au nord ouest de
  l'équilibre avant coup (avant que le choc frappe). Si l'économie au départ est
  à l'équilibre de long terme, le nouvel équilibre implique un écart du produit
  négatif et un écart d'inflation positif.
\item Le taux d'inflation rélaisé en $t$ (période où le choc frappe) devient la
  valeur du taux d'inflation où la courbe OA de court terme coupe la courbe OA
  de long terme en $t+1$. Il y a un déplacement vers la droite de la courbe OA
  de court terme, et donc l'équilibre macroéconomique se retrouve à un point au
  sud est de l'équilibre en $t$. L'écart du produit devient un peu moins
  négatif, et l'écart d'inflation deveient un peu moins positif.
\item L'équilibre macroéconomique continue de se déplacer vers le sud est le
  long de la courbe DA initiale qui n'aura jamais bougé.
\end{enumerate}

\section{Politique monétaire (40 points)}

\begin{enumerate}

\item À cause de la marge ajoutée par les syndicats et aussi à cause d'un taux
  de taxation positif sur le salaire, le salaire réal brut payé aux travailleurs
  doit être supérieur à leur taux marginal de substitution, et ceci même en
  l'absence de rigidités nominales. À cause de la marge ajoutée appliquée par
  les firmes sur leur coût marginale de production, le salaire réel payé par les
  firmee doit être moins élevé que la valeur du produit marginal des
  travailleurs. Le salaire réel d'équilibre en concurrence imparfaite implique
  un niveau d'emploi inférieur à celui qui s'appliquerait dans un équilibre en
  concurrence parfaite et sans taxes distortionnaires. Il y a une perte de
  surplus à cet équilibre qui équivaut au triangle borné par la courbe qui donne
  la valeur du produit marginal des travailleurs, la courbe qui indique le taux
  marginal de substitution des travailleurs, et la droite verticale qui passe à
  travers le salaire réel d'équilibre en concurrence imparfaite.

  Maintenant, si cet équilibre fluctue à cause de variations temporaires dans
  les marges ajoutées ou à cause de chocs de demande en présence de rigidités
  nominales (le cas de chocs de productivité est différent car il implique des
  fluctuations de la courbe qui donne la valaur du produit marginal des
  travailleurs), il y a des variations de ce surlus.  Si l'emploi d'équilibre
  augmente, il y a un gain de surplus. Le triangle qui indique la perte sèche
  devient plus petit. Pour une baisse de l'emploi il y a une perte de surplus,
  car le traingle devient plus grand. Si la diminution de l'emploi est égale à
  l'augmentation de l'emploi, la perte est plus grande que le gain, puisque la
  base (partie verticale) du triangle devient plus grande.

\item Le premier terme capte justement le fait que l'emploi (et donc le produit)
  sont sous optimaux dans l'équilibre en concurrence parfaite. Une augmentation
  de l'écart du produit par rapport à $\hat{b}$ amène l'économie plus près de
  l'équilibre efficient (sans distortions) et fait diminuer la perte du
  surplus.

\item La version simplifiée de la fonction de perte peut s'écrire
\[
SL = - a_d  \hat{y} 
+ \frac{a_l}{2} \hat{y}^2 
+ \frac{a_{\pi}}{2} \hat{\pi}^2 .
\]
Substituant la version simplifiée de la courbe OA (sans choc d'offre) on obtient
\[
SL = - a_d  \hat{y} 
+ \frac{a_l}{2} \hat{y}^2 
+ \frac{a_{\pi}}{2} \left( \gamma \hat{y} \right) ^2 .
\]
Donc, le problème de la banque peut s'écrire
\[
\min_{\hat{y}} SL =
- a_d  \hat{y} 
+ \frac{a_l}{2} \hat{y}^2 
+ \frac{a_{\pi}}{2} \left( \gamma \hat{y} \right) ^2 .
\]
Sa seule variable de choix est $\hat{y}$.

\item La CPO de son programme est
\[
\frac{\partial SL}{\partial \hat{y}} = 0
\]
\[
\Rightarrow - a_d + a_l \hat{y} + a_{]pi} \gamma^2 \hat{y} = 0
\]
\[
\Rightarrow \hat{y} = \frac{ a_d }{ a_l  + \gamma^2  a_{\pi} }  > 0.
\]

\item Dans notre cas nous avons pour le moment $\hat{b}=0$. La solution pour le
  choix optimal de $\hat{y}$ est positive. Donc, forcément nous avons que
\[
\hat{y} > \hat{b} .
\]

\item La conséquence serait un taux d'inflation supérieur à la cible. Dans la
  mesure où la banque essaie d'arriver systématiquement à cet équilibre, le taux
  d'inflation anticipé doit finir par augmenter, ce qui implique une perte de
  crédibilité et par la suite un taux d'inflation qui doit s'accélérer à long
  terme. 

\item Nous avons tout de suite $\hat{y}=0$ et donc $\hat{y}-\hat{b}=0$. Pour
  éviter la perte de sa crédibilité, la banque finit par décider de ne pas céder
  à la tentation d'aurriver systématiquement à un équilibre macroéconomique avec
  un écart du produit supérieur à l'écart de la productivité.

\item Substituant la version plus général de la courbe OA de court terme, nous
  avons 
\[
SL = \frac{a_l}{2} \left( \hat{y} - \hat{b} \right)^2
+ \frac{a_{\pi}}{2}
\left( \gamma \hat{y} - \hat{b}/(1-\alpha) + \hat{m} \right)^2 .
\]
Le programme de la banque devient
\[
\min_{\hat{y}} SL = a_l \left( \hat{y} - \hat{b} \right)^2
+ a_{\pi} \left( \gamma \hat{y} - \hat{b}/(1-\alpha) + \hat{m} \right)^2 .
\]
La CPO de son problème est
\[
\frac{\partial SL}{\partial \hat{y}} = 0
\]
\[
\Rightarrow a_l \left( \hat{y} - \hat{b} \right)
+ a_{\pi} \gamma \left( \gamma \hat{y} - \hat{b}/(1-\alpha) + \hat{m} \right)
= 0 .
\]
Regroupant les termes, on obtient
\[
\left( a_l + a_{\pi} \gamma^2 \right) \hat{y}
- \left( a_l + a_{\pi} \gamma / (1-\alpha) \right) \hat{b}
+ a_{\pi} \gamma \hat{m} = 0
\]
\[
\Rightarrow \hat{y} = \frac{a_l + a_{\pi} \gamma/(1-\alpha)}
{a_l + a_{\pi} \gamma^2 } \hat{b}
- \frac{a_{\pi} \gamma}
{a_l + a_{\pi} \gamma^2} \hat{m}
\]

\item L'équation de la demande agrégée est
\[
\hat{y} = \alpha_1 \hat{g} - \alpha_2 (r - \bar{r}) + v
\]
\[
= \alpha_1 \hat{g} + \alpha_2 \bar{r} - \alpha_2 r^* - \alpha_2 \rho + v
\]
\[
= \alpha_1 \hat{g} + \alpha_2 \bar{r} - \alpha_2 i^p + \alpha_2 \pi^*
- \alpha_2 \rho + v .
\]
Utilisant la solution pour le choix optimal de $\hat{y}$ on obtient
\[
\frac{a_l + a_{\pi} \gamma/(1-\alpha)}
{a_l + a_{\pi} \gamma^2 } \hat{b}
- \frac{a_{\pi} \gamma}
{a_l + a_{\pi} \gamma^2} \hat{m}
\]
\[
= \alpha_1 \hat{g} + \alpha_2 \bar{r} - \alpha_2 i^p + \alpha_2 \pi^*
- \alpha_2 \rho + v
\]
\[
\Rightarrow i^p = \bar{r} + \pi^* + \frac{v + \alpha_1 \hat{g}}{\alpha_2}
\]
\[
+ \frac{a_{\pi} \gamma}
{\alpha_2 \left( a_l + a_{\pi} \gamma^2 \right)} \hat{m}
- \frac{a_l + a_{\pi} \gamma/(1-\alpha)}
{\alpha_2 \left( a_l + a_{\pi} \gamma^2 \right)} \hat{b}
\]

\item Face à un choc de demande agŕegée positif (augmentation de $\hat{g}$ ou de
  $v$), la banque centrale augmente le taux d'intérêt nominal, ce qui réduit
  l'inflation et l'écart du produit, faisant rapprocher l'équilibre
  macroéconomique de l'équilibre de long terme. Face à un choc positif affectant
  les marges ajoutées (augmentation de $\hat{m}$), la banque centrale fait
  augmenter le taux d'intérêt afin de réduire l'inflation qui augmente suite au
  choc: l'augmentation du taux d'intérêt doit faire baisser l'écart du produit,
  et donc il y a un arbitrage entre la stabilisation de l'inflation et la
  stabilisation de l'écart du produit. Face à un choc positif affectant l'écart
  de la productivité (augmentation de $\hat{b}$), la banque centrale fait
  baisser le taux d'intérêt pour contrarier la baisse du taux d'inflation qui en
  résulte: dans ce cas aussi il y a un arbitrage entre la stabilisation de
  ĺ'inflation et la stabilisation de l'écart du produit. Toute chose étant égale
  par ailleurs, le taux d'intérêt de la banque est plus élevée pour un taux
  d'inflation cible plus élevé et pour un taux d'intérêt réel de long terme plus
  élevé.

\item Face à un choc d'offre, la banque centrale ne peut pas réduire
  simultanément l'écart du produit et l'écart d'inflation à zéro: il y a un
  arbitrage fondamental entre stabilisation de l'inflation et stabilisation de
  l'écart du produit. En outre, les chocs (chocs de demande négatifs, baisse de
  $\hat{m}$, ou augmentation de $\hat{b}$, ou une combinaison de ces trois
  choses) pourrait dicter un taux d'intérêt $i^p$ \textbf{négatif}, ce qui
  serait impossible étant données les contraintes institutionnelles
  (impossibilité d'imposer un taux d'intêrêt négatif sur la monnaie). On ne
  tient pas compte de cette contrainte explicitement dans le problème
  d'optimisation de la banque centrale. Cette contrainte implicite pourrait
  empêcher la banque centrale de satisfaire la CPO de son problème de
  minimisation. La politique monétaire devient impuissante dans ce cas.

\item Avec une cible d'inflation plus élevée et pour des variances données des
  chocs, il est moins probable que le taux d'intérêt $i^p$ deviendra
  négatif. Donc, un des avantages d'une cible plus élevée est d'aider à éviter
  des situations où le taux d'intérêt atteint sa borne inférieure.

\end{enumerate}

\vspace{.25in}
\noindent
créé le: 27/04/2012

\end{document}