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\title{ECO 3022: Macroéconomie III \\
Examen final}

\author{Alain Guay\\
Département des sciences économiques\\
École des sciences de la gestion\\
Université du Québec  Montréal}

\date{Automne 2011}

\begin{document}

\maketitle

Je vous demande d'écrire \emph{lisiblement}.  Lorsque je
vous demande de d\'eriver, il me faut une d\'erivation alg\'ebrique. Lorsque je demande de discuter ou d'expliquer, cela se fait en mots mais vos arguments peuvent \^etre appuy\'es de d\'erivations  alg\'ebriques ou de graphiques. 

La documentation n'est pas permise. Il n'y a pas de question chiffrée, donc les
calculatrices sont interdites aussi. Vous avez trois heures. Bon examen.


\section{Offre agr\'eg\'ee (30
points)}

On a l'offre agr\'eg\'ee suivante:
\begin{equation}
\pi = \pi^e + \gamma \left( y - \bar{y} \right)
+ s
\label{fortytwo}
\end{equation}
où
\[
s \equiv
\ln\left(\frac{m^p}{\bar{m}^p} \right) +
\ln\left(\frac{m^w}{\bar{m}^w} \right) -
\frac{1}{1-\alpha} \ln\left(\frac{B}{\bar{B}} \right) .
\]
Ici, $(y-\bar{y})$ est
l'écart en pourcentage de l'output par rapport à son niveau naturel, communément
appelé \og output gap \fg, $\pi$ le taux d'inflation et $\pi^e$, le taux d'inflation anticip\'e. Le param\`etre $\gamma = \frac{\alpha}{1-\alpha}$ est fonction du param\`etre $\alpha$ qui contr\^ole les rendements d\'ecroissants de la fonction de production de la firme monopolistique donn\'ee par: $$Y=BL^{(1-\alpha)}$$ o\`u $B$ 
repr\'esente le niveau de la technologie et $L$, la quantit\'e de travail. La firme a un pouvoir monopolistique qui d\'epend de la marge ajout\'ee $m^p$. On est \'egalement en pr\'esence d'un syndicat qui a un pouvoir monopolistique lui permettant de fixer le salaire nominal (en anticipant le niveau des prix) et il offrira la quantit\'e de travail demand\'ee au salaire r\'eel r\'ealis\'e. La marge ajout\'ee correspondante pour le syndicat est not\'ee $m^w$. Les variables avec les barres sont les variables \`a leurs valeurs tendancielles.

\begin{enumerate}
\item La courbe d'offre agr\'eg\'ee implique, que pour un taux d'inflation anticip\'e donn\'e, une hausse de l'output gap augmentera l'inflation. Expliquez pourquoi?

\item De m\^eme, une baisse de l'inflation r\'ealis\'ee par rapport \`a l'inflation anticip\'ee entra\^inera une hausse de l'ouput. Expliquez pourquoi?
\item Expliquez pourquoi une hausse du pouvoir monopolistique des firmes entra\^inera une hausse de l'inflation? 

\item Expliquez pourquoi un choc positif de la productivit\'e (donc un choc positif \`a la variable $B$) entra\^inera une baisse de l'inflation?
\item La pente de la courbe d'offre agr\'eg\'ee d\'epend du param\`etre $\gamma$ et donc du param\`etre $\alpha$ de la fonction de production. Est-ce que la courbe sera plus ou moins \'elastique avec une hausse des rendements d\'ecroissants (donc une hausse de $\alpha$) de la fonction de production?
Expliquez pourquoi?

\item Supposons maintenant que l'on remplace le march\'e du travail syndicalis\'e par un march\'e du travail concurrentiel et que l'offre de travail d\'epend toujours du niveau des prix anticip\'e. 
Est-ce que l'offre agr\'eg\'ee  (\ref{fortytwo}) sera alors plus ou moins \'elastique? Expliquez pourquoi?
 
\end{enumerate}



\section{\'Equilibre  macro\'economique (25
points)}

Nous avons une \'economie caract\'eris\'ee par les \'equations suivantes:

\begin{equation}
y_t - \bar{y} = \alpha_1 \left( g_t - \bar{g} \right)
- \alpha_2 \left( r_t - \bar{r} \right) + v_t , \label{one}
\end{equation}
\begin{equation}
r_t \equiv i_t - \pi^e_{t+1} , \label{two}
\end{equation}
\begin{equation}
i_t = \bar{r} + \pi^e_{t+1} + h \left( \pi_t - \pi^* \right)
+ b \left( y_t - \bar{y} \right)+\epsilon_t , \label{three}
\end{equation}
\begin{equation}
\pi_t = \pi^e_t + \gamma \left( y_t - \bar{y} \right)
+ s_t. \label{four}
\end{equation}
On a ici augment\'e la r\`egle de Taylor d'un choc $\epsilon_t$. Ce choc constitue un choc de politique mon\'etaire de la part de la banque centrale.
Nous allons supposer que les anticipations d'inflation sont caract\'eris\'ees par la forme suivante:
\begin{eqnarray}
\pi_t ^e= (1 - \lambda) \pi^* + \lambda \pi_{t-1}.\label{five}
\end{eqnarray}
L'inflation d\'epend donc d'une somme pond\'er\'ee de la cible d'inflation $\pi^*$ de la banque centrale et de l'inflation de la p\'eriode pr\'ec\'edente $\pi_{t-1}$. 
%Dans le cours, nous avons examin\'e la cas avec $\lambda=1$.
%Pour simplifier le probl\`eme, nous allons consid\'erer que $g_t=\bar g$ pour toutes les p\'eriodes $t$.\\




\begin{enumerate}
\item Justifiez en quoi la forme adopt\'ee pour l'inflation anticip\'ee peut \^etre raisonnable.
\item D\'erivez les \'equations de la demande agr\'eg\'ee et de l'offre agr\'eg\'ee \`a partir des \'equations (\ref{one}), (\ref{two}), (\ref{three}), (\ref{four}) et (\ref{five}), 
\item Supposons que nous sommes \`a l'\'equilibre de la demande agr\'eg\'ee et de l'offre agr\'egr\'ee \`a la p\'eriode 0 et que cet \'equilibre correspond \`a l'\'equilibre de long terme: $\pi_0 = \pi^*$ et $y_0=\bar y$. D\'ecrivez graphiquement l'impact d'un choc mon\'etaire contractionniste $\epsilon_1$  qui dure deux p\'eriodes (donc $\epsilon_1=\epsilon_2 \neq 0)$ et le processus d'ajustement vers l'\'equilibre de long terme pour $\lambda=1$ et $\lambda=0$. Soyez le plus clair possible pour votre graphique. En particulier, indiquez clairement pour quelle valeur d'inflation la courbe d'offre agr\'eg\'ee croise l'offre agr\'eg\'ee de long terme.
\item Supposons que nous sommes \`a l'\'equilibre de la demande agr\'eg\'ee et de l'offre agr\'egr\'ee \`a la p\'eriode 0 et que cet \'equilibre correspond \`a l'\'equilibre de long terme: $\pi_0 = \pi^*$ et $y_0=\bar y$. D\'ecrivez graphiquement l'impact d'un choc n\'ergatif $s_1$ \`a la p\'eriode 1  qui dure deux p\'eriodes (donc $s_1=s_2 < 0)$ et le processus d'ajustement vers l'\'equilibre de long terme pour $\lambda=1$ et $\lambda=0$. 
\item D\'erivez les fonctions de r\'eponses des variables $\hat y = y_t - \bar y$ et $\hat \pi_t=\pi_t-\pi^*$ en fonction des chocs $\epsilon_t$, $v_t$ et $s_t$ et de $\lambda$ prenant une valeur comprise entre 0 et 1. Discutez de la persistance des chocs selon la valeur du param\`etre $\lambda$. 
%{\bf R\'eponse:} Plus la valeur de $\lambda$ est faible, plus la persistance est faible.
\end{enumerate}

\section{Politiques de stabilisation: Pourquoi? (25
points)}

Supposons une \'economie avec un consommateur repr\'esentatif dont l'utilit\'e d\'epend de sa consommation $C$ et de la quantit\'e de travail $L$ qu'il fournit. On va supposer la forme fonctionnelle suivante pour la fonction 
d'utilit\'e:
\begin{eqnarray*}
U(C,L) = \frac{C^{1-\theta}}{1-\theta} -  \frac{L^{1+\mu}}{1+\mu}   \quad  \theta > 0, \quad \mu > 0.
\end{eqnarray*}
%Le param\`etre $\theta$ repr\'esente l'\'elasticit\'e de l'utilit\'e marginal de la consommation par rapport \`a la consommation

Nous allons supposer qu'il existe des imperfections de march\'e de telle sorte que le salaire r\'eel exig\'e par le consommateur est plus \'elev\'e que le taux marginal de substitution entre la consommation et le travail, donc qu'il existe une marge ajout\'ee $m^w$. Ainsi,
\begin{eqnarray*}
\frac{W}{P}= m^w C^\theta L^\mu=m^w TMS
\end{eqnarray*}
avec $m^w > 1$ et TMS est le taux marginal de substitution entre la consommation et la quantit\'e de travail. On suppose la fonction de production suivante pour la firme
\[
Y = BL^{(1-\alpha)}.
\]
avec $0 < \alpha < 1$, Dans un contexte de concurrence monopolistique, la firme va fixer un prix qui sera \'egal \`a une marge ajoutée multipli\'ee par le coût
marginal de production, qui dans le contexte présent est le salaire nominal
divisé par la productivité marginale du travail, ainsi
\[
P = m^p \frac{W}{(1-\alpha) B L^{-\alpha}} .
\]
Le salaire r\'eel correspondant \`a la demande de travail sera donc
\[
\frac{W}{P} = \frac{1}{m^p} (1-\alpha) B L^{-\alpha} = \frac{PMT}{m^p}.
\]
o\`u $PMT$ d\'enote la productivit\'e du travail.
 On peut obtenir pour ce mod\`ele une mesure de la variation de bien-\^etre qui est donn\'ee par l'expression suivante:
\begin{eqnarray}
\label{fperte}
\frac{\Delta / \bar U_C}{ \bar C} \simeq \left( \frac{\bar \delta -1}{\bar \delta} \right) \hat y - \left( \theta + \frac{ \mu }{\bar \delta (1- \alpha)} \right) \frac{\hat y^2}{2}.
\end{eqnarray}
o\`u $\Delta$ mesure la diff\'erence d'utilit\'e $U(C,L)$ aux valeurs $C$ et $L$ de la consommation et du travail avec l'utilit\'e $U(\bar C, \bar L)$ aux valeurs tendancielles. $U_C$ repr\'esente l'utilit\'e marginale de la consommation et $\bar \delta = \bar m^p m^w$. \\
\begin{enumerate}
\item D\'erivez une mesure du degr\'e des  distortions du march\'e du travail pour cette \'economie. Vous pouvez transformer vos \'equation sous forme logarithmique comme je l'ai fait dans le cours.
\item Montrez graphiquement que les imperfections sur le march\'e du travail dues aux marges ajout\'ees $m^w$ et $m^p$ conduisent \`a un niveau d'emploi tendanciel $\bar L$ qui est inf\'erieur \`a l'emploi en concurrence parfaite.
Pour obtenir votre graphique vous pouvez utiliser les \'equations sous forme logarithmique.
\item \`A l'aide de votre graphique, montrez \`a quoi correspond la perte d'efficacit\'e caus\'ee par les imperfections de march\'e pour la valeur de $\bar L$.
\item Si nous considérons maintenant des fluctuations symétriques autour de l'\'equilibre, l'emploi variera entre $L^2>\bar{L}$ et $L^1<\bar{L}$. Montrez graphiquement que le gain en période d'expansion de l'emploi est inférieur à la
perte en période de récession.
\item   \`A partir de la mesure de variation de bien-\^etre (\ref{fperte}), expliquez pourquoi le gain en périodes d'expansion de l'emploi est inférieur à la
perte en périodes de récession (ce que vous avez montr\'e graphiquement).

\end{enumerate}


\section{Politiques de stabilisation: Comment? (25
points)}

Supposons la fonction de perte sociale suivante qui d\'epend de l'output gap, du gap d'inflation et des variations de la productivit\'e $\hat b = \ln B - \ln \bar B$,
\begin{eqnarray}
\label{PSL}
SL \simeq -\hat b - a_d (\hat y - \hat b) + \frac{a_l}{2  (1- \alpha)}  (\hat y - \hat b)^2+ \frac{a_{\pi}}{2} \hat \pi^2.
\end{eqnarray}
avec $a_l > 0$, $a_{\pi} > 0$, $a_d = \frac{\bar \delta -1}{\bar \delta} = 1 - \frac{1}{ \bar m^w \bar m^p}$. 

%\subsection{Politique mon\'etaire optimale en contexte d'information parfaite}

On consid\`ere que la banque centrale observe parfaitement les diff\'erents types de chocs affectant l'\'economie et qu'elle peut ajuster instantan\'ement sa politique, donc le taux d'int\'er\^et, \`a ces chocs. On suppose \'egalement que l'\'economie r\'eagit imm\'ediatement aux changements de taux d'int\'er\^et r\'eel fix\'e par la banque centrale. Enfin, on suppose que le taux d'inflation anticip\'e correspond \`a la cible de la banque centrale $\pi^*$ et, donc, que la banque centrale est cr\'edible aux yeux des agents \'economiques. En consid\'erant que $\pi^e = \pi^*$, l'offre agr\'eg\'ee est maintenant donn\'ee par:
\begin{eqnarray}
\label{cible}
\hat \pi = \left( \frac{\alpha}{1-\alpha} \right) \hat y + \hat m - \frac{\hat b}{1-\alpha}, 
\end{eqnarray}
avec
\begin{eqnarray*}
\hat m = \ln \left(\frac{m^p}{\bar m^p}\right)+\ln \left(\frac{m^w}{\bar m^w}\right).
\end{eqnarray*}

\begin{enumerate}
\item D\'erivez l'output gap optimal que cherchera \`a atteindre la banque centrale afin de minimiser la fonction de perte $SL$.

\item R\'e\'ecrivez l'output optimal en fonction des diff\'erents chocs en utilisant l'offre agr\'eg\'ee (\ref{cible}).

\item En utilisant l'\'equation de demande suivante:
\begin{eqnarray}
\label{rr2}
\hat y & = & \alpha_1 \hat g - \alpha_2 (r - \bar r) + v \nonumber\\
& = & \alpha_1 \hat g -\alpha_2 (i-\pi^* - \bar r) + v.
\end{eqnarray}
D\'erivez le taux d'int\'er\^et r\'eel qui permet d'atteindre l'output gap optimal.
\item Comparez cette r\`egle de fixation du taux d'int\'er\^et par la banque centrale \`a la r\`egle de Taylor.
\item Montrez que la banque centrale peut compl\`etement stabiliser l'ouput gap et le gap d'inflation suite \`a des chocs de demande contrairement aux chocs d'offre.
\end{enumerate}


\vspace{.25in}
%créé le: 26/10/2011

\end{document}