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\title{ECO 3022: Macroéconomie III \\
Examen final: {\bf Solutionnaire}}

\author{Alain Guay\\
Département des sciences économiques\\
École des sciences de la gestion\\
Université du Québec  Montréal}

\date{Automne 2011}

\begin{document}

\maketitle

Je vous demande d'écrire \emph{lisiblement}.  Lorsque je
vous demande de d\'eriver, il me faut une d\'erivation alg\'ebrique. Lorsque je demande de discuter ou d'expliquer, cela se fait en mots mais vos arguments peuvent \^etre appuy\'es de d\'erivations  alg\'ebriques ou de graphiques. 

La documentation n'est pas permise. Il n'y a pas de question chiffrée, donc les
calculatrices sont interdites aussi. Vous avez trois heures. Bon examen.


\section{Offre agr\'eg\'ee (30
points)}

On a l'offre agr\'eg\'ee suivante:
\begin{equation}
\pi = \pi^e + \gamma \left( y - \bar{y} \right)
+ s
\label{fortytwo}
\end{equation}
où
\[
s \equiv
\ln\left(\frac{m^p}{\bar{m}^p} \right) +
\ln\left(\frac{m^w}{\bar{m}^w} \right) -
\frac{1}{1-\alpha} \ln\left(\frac{B}{\bar{B}} \right) .
\]
Ici, $(y-\bar{y})$ est
l'écart en pourcentage de l'output par rapport à son niveau naturel, communément
appelé \og output gap \fg, $\pi$ le taux d'inflation et $\pi^e$, le taux d'inflation anticip\'e. Le param\`etre $\gamma = \frac{\alpha}{1-\alpha}$ est fonction du param\`etre $\alpha$ qui contr\^ole les rendements d\'ecroissants de la fonction de production de la firme monopolistique donn\'ee par: $$Y=BL^{(1-\alpha)}$$ o\`u $B$ 
repr\'esente le niveau de la technologie et $L$, la quantit\'e de travail. La firme a un pouvoir monopolistique qui d\'epend de la marge ajout\'ee $m^p$. On est \'egalement en pr\'esence d'un syndicat qui a un pouvoir monopolistique lui permettant de fixer le salaire nominal (en anticipant le niveau des prix) et il offrira la quantit\'e de travail demand\'ee au salaire r\'eel r\'ealis\'e. La marge ajout\'ee correspondante pour le syndicat est not\'ee $m^w$. Les variables avec les barres sont les variables \`a leurs valeurs tendancielles.

\begin{enumerate}
\item La courbe d'offre agr\'eg\'ee implique, que pour un taux d'inflation anticip\'e donn\'e, une hausse de l'output gap augmentera l'inflation. Expliquez pourquoi?\\
{\bf R\'eponse:}
Cette hausse provient du fait que la hausse de l'output requiert  une hausse de l'emploi, cette hausse de l'emploi produira une hausse du co\^ut marginal (\'etant donn\'e les rendements d\'ecroissants) qui entra\^ inera une augmentation des prix via la marge ajout\'ee $m^p$.
\item De m\^eme, une baisse de l'inflation r\'ealis\'ee par rapport \`a l'inflation anticip\'ee entra\^inera une hausse de l'ouput. Expliquez pourquoi?\\
{\bf R\'eponse:} Pour un taux d'inflation r\'ealis\'e plus \'elev\'e que le taux d'inflation anticip\'e, le ch\^ omage sera moins \'elev\'e que le taux de ch\^ omage naturel. Ce r\'esultat provient du fait que le salaire r\'eel r\'ealis\'e est alors plus bas que le salaire r\'eel anticip\'e, ce qui stimule l'emploi. Puisque l'emploi sera plus \'elev\'e, l'output sera plus \'elev\'e que l'output potentiel $\bar y$
par la fonction de production.
\item Expliquez pourquoi une hausse du pouvoir monopolistique des firmes entra\^inera une hausse de l'inflation? \\
{\bf R\'eponse:} Le prix demand\'e par la firme d\'epend de la marge ajout\'ee $m^p$. Une hausse de $m^p$ haussera le prix demand\'e et, par la sym\'etrie de l'\'economie, ce sera la m\^eme chose dans chaque secteur, ce qui haussera l'inflation agr\'eg\'ee
\item Expliquez pourquoi un choc positif de la productivit\'e entra\^inera une baisse de l'inflation?\\
{\bf R\'eponse:} Un choc de productivit\'e fera baisser le co\^ut marginal des firmes, pour une marge ajout\'ee $m^p$ donn\'ee, ceci entra\^inera une baisse du niveau des prix et donc une baisse de l'inflation.
\item La pente de la courbe d'offre agr\'eg\'ee d\'epend du param\`etre $\gamma$ et donc du param\`etre $\alpha$ de la fonction de production. Est-ce que la courbe sera plus ou moins \'elastique avec une hausse des rendements d\'ecroissants (donc une hausse de $\alpha$) de la fonction de production?
Expliquez pourquoi?\\
{\bf R\'eponse:} Une hausse des rendements d\'ecroissants implique une hausse de $\alpha$ et donc une hausse de $\gamma$. La courbe sera alors plus in\'elastique. Des rendements d\'ecroissants plus \'elev\'es implique des co\^uts marginaux qui sont plus sensibles aux variations de la quantit\'e de travail donc aux variations de l'output. Cette sensibilit\'e plus forte entra\^inera une variation des prix (donc de l'inflation) plus forte suite \`a une variation de l'output. 
\item Supposons maintenant que l'on remplace le march\'e du travail syndicals\'e par un march\'e du travail concurrentiel et que l'offre de travail d\'epend toujours du niveau des prix anticip\'e. 
Est-ce que l'offre agr\'eg\'ee  (\ref{fortytwo}) sera alors plus ou moins \'elastique? Expliquez pourquoi?\\
{\bf R\'eponse:} En pr\'esence d'un march\'e du travail concurrentiel avec des erreurs d'anticipations des prix, l'emploi r\'epond mojns \`a une rereur d'anticipations des prix donc \`a un diff\'erentiel entre l'inflation r\'ealis\'ee et l'inflation anticip\'ee. Puisque l'emploi r\'eagit moins, l'output r\'eagira \'egalement moins
puisqu'il est fonction de l'emploi. L'output est donc moins sensible \`a un diff\'erentiel entre l'inflation r\'ealis\'ee et l'inflation anticip\'ee ce qui implique une courbe d'offre agr\'eg\'ee qui est plus in\'elastique. 
\end{enumerate}



\section{\'Equilibre  macro\'economique (25
points)}

Nous avons une \'economie caract\'eris\'ee par les \'equations suivantes:

\begin{equation}
y_t - \bar{y} = \alpha_1 \left( g_t - \bar{g} \right)
- \alpha_2 \left( r_t - \bar{r} \right) + v_t , \label{one}
\end{equation}
\begin{equation}
r_t \equiv i_t - \pi^e_{t+1} , \label{two}
\end{equation}
\begin{equation}
i_t = \bar{r} + \pi^e_{t+1} + h \left( \pi_t - \pi^* \right)
+ b \left( y_t - \bar{y} \right)+\epsilon_t , \label{three}
\end{equation}
\begin{equation}
\pi_t = \pi^e_t + \gamma \left( y_t - \bar{y} \right)
+ s_t. \label{four}
\end{equation}
On a ici augment\'e la r\`egle de Taylor d'un choc $\epsilon_t$. Ce choc constitue un choc de politique mon\'etaire de la part de la banque centrale.
Nous allons supposer que les anticipations d'inflation sont caract\'eris\'ees par la forme suivante:
\begin{eqnarray}
\pi_t ^e= (1 - \lambda) \pi^* + \lambda \pi_{t-1}.\label{five}
\end{eqnarray}
L'inflation d\'epend donc d'une somme pond\'er\'ee de la cible d'inflation $\pi^*$ de la banque centrale et de l'inflation de la p\'eriode pr\'ec\'edente $\pi_{t-1}$. 
%Dans le cours, nous avons examin\'e la cas avec $\lambda=1$.
%Pour simplifier le probl\`eme, nous allons consid\'erer que $g_t=\bar g$ pour toutes les p\'eriodes $t$.\\




\begin{enumerate}
\item Justifiez en quoi la forme adopt\'ee pour l'inflation anticip\'ee peut \^etre raisonnable.
\item D\'erivez les \'equations de la demande agr\'eg\'ee et de l'offre agr\'eg\'ee \`a partir des \'equations (\ref{one}), (\ref{two}), (\ref{three}), (\ref{four}) et (\ref{five}), 
\item Supposons que nous sommes \`a l'\'equilibre de la demande agr\'eg\'ee et de l'offre agr\'egr\'ee \`a la p\'eriode 0 et que cet \'equilibre correspond \`a l'\'equilibre de long terme: $\pi_0 = \pi^*$ et $y_0=\bar y$. D\'ecrivez graphiquement l'impact d'un choc mon\'etaire contractionniste $\epsilon_1$  qui dure deux p\'eriodes (donc $\epsilon_1=\epsilon_2 \neq 0)$ et le processus d'ajustement vers l'\'equilibre de long terme pour $\lambda=1$ et $\lambda=0$. Soyez le plus clair possible pour votre graphique. En particulier, indiquez clairement pour quelle valeur d'inflation la courbe d'offre agr\'eg\'ee croise l'offre agr\'eg\'ee de long terme.
\item Supposons que nous sommes \`a l'\'equilibre de la demande agr\'eg\'ee et de l'offre agr\'egr\'ee \`a la p\'eriode 0 et que cet \'equilibre correspond \`a l'\'equilibre de long terme: $\pi_0 = \pi^*$ et $y_0=\bar y$. D\'ecrivez graphiquement l'impact d'un choc n\'ergatif $s_1$ \`a la p\'eriode 1  qui dure deux p\'eriodes (donc $s_1=s_2 < 0)$ et le processus d'ajustement vers l'\'equilibre de long terme pour $\lambda=1$ et $\lambda=0$. 
\item D\'erivez les fonctions de r\'eponses des variables $\hat y = y_t - \bar y$ et $\hat \pi_t=\pi_t-\pi^*$ en fonction des chocs $\epsilon_t$, $v_t$ et $s_t$ et de $\lambda$ prenant une valeur comprise entre 0 et 1. Discutez de la persistance des chocs selon la valeur du param\`etre $\lambda$. \\
{\bf R\'eponse:} Plus la valeur de $\lambda$ est faible, plus la persistance est faible.
\end{enumerate}

\section{Politiques de stabilisation: Pourquoi? (25
points)}

Supposons une \'economie avec un consommateur repr\'esentatif dont l'utilit\'e d\'epend de sa consommation $C$ et de la quantit\'e de travail $L$ qu'il fournit. On va supposer la forme fonctionnelle suivante pour la fonction 
d'utilit\'e:
\begin{eqnarray*}
U(C,L) = \frac{C^{1-\theta}}{1-\theta} -  \frac{L^{1+\mu}}{1+\mu}   \quad  \theta > 0, \quad \mu > 0.
\end{eqnarray*}
%Le param\`etre $\theta$ repr\'esente l'\'elasticit\'e de l'utilit\'e marginal de la consommation par rapport \`a la consommation

Nous allons supposer qu'il existe des imperfections de march\'e de telle sorte que le salaire r\'eel exig\'e par le consommateur est plus \'elev\'e que le taux marginal de substitution entre la consommation et le travail, donc qu'il existe une marge ajout\'ee $m^w$. Ainsi,
\begin{eqnarray*}
\frac{W}{P}= m^w C^\theta L^\mu=m^w TMS
\end{eqnarray*}
avec $m^w > 1$ et TMS est le taux marginal de substitution entre la consommation et la quantit\'e de travail. Examinons maintenant le comportement de la firme. On suppose la fonction de production suivante
\[
Y = BL^{(1-\alpha)}.
\]
avec $0 < \alpha < 1$, Dans un contexte de concurrence monopolistique, la firme va fixer un prix qui sera \'egal \`a une marge ajoutée multipli\'ee par le coût
marginal de production, qui dans le contexte présent est le salaire nominal
divisé par la productivité marginale du travail, ainsi
\[
P = m^p \frac{W}{(1-\alpha) B L^{-\alpha}} .
\]
Le salaire r\'eel correspondant \`a la demande de travail sera donc
\[
\frac{W}{P} = \frac{1}{m^p} (1-\alpha) B L^{-\alpha} = \frac{PMT}{m^p}.
\]
o\`u $PMT$ d\'enote la productivit\'e du travail.
 On peut obtenir pour ce mod\`ele une mesure de la variation de bien-\^etre qui est donn\'ee par l'expression suivante:
\begin{eqnarray}
\label{fperte}
\frac{\Delta / \bar U_C}{ \bar C} \simeq \left( \frac{\bar \delta -1}{\bar \delta} \right) \hat y - \left( \theta + \frac{ \mu }{\bar \delta (1- \alpha)} \right) \frac{\hat y^2}{2}.
\end{eqnarray}
o\`u $\Delta$ mesure la diff\'erence d'utilit\'e $U(C,L)$ aux valeurs $C$ et $L$ de la consommation et du travail avec l'utilit\'e $U(\bar C, \bar L)$ aux valeurs tendancielles. $U_C$ repr\'esente l'utilit\'e marginale de la consommation et $\bar \delta = \bar m^p m^w$. \\
\begin{enumerate}
\item D\'erivez une mesure du degr\'e des  distortions du march\'e du travail pour cette \'economie. Vous pouvez transformer vos \'equation sous forme logarithmique comme je l'ai fait dans le cours.\\
{\bf R\'eponse:} En concurrence parfaite, on a que: 
\begin{eqnarray*}
\frac{W}{P}= C^\theta L^\mu=TMS
\end{eqnarray*}
et
\[
\frac{W}{P} =  (1-\alpha) B L^{-\alpha}= PMT.
\]
Ce qui implique que $TMS=PMT$ ou que $\frac{PMT}{TMS}=1$. Dans notre mod\`ele avec imperfections de march\'e
\begin{eqnarray*}
m^w TMS = \frac{PMT}{m^p} \Rightarrow \delta = \frac{PMT}{TMS}=m^w m^p > 1
\end{eqnarray*}
avec $\delta$ qui mesure le degr\'e de distortions sur le march\'e du travail. Sous forme logarithmique, on a du c\^ot\'e de la demande de travail:
\begin{eqnarray*}
w-p=pmt-u^p
\end{eqnarray*}
o\`u $w=\ln(W)$, $p=\ln(P)$, $pmt=\ln(PMT)$ et $u^p=\ln (m^p)$. Du c\^ot\'e de l'offre de travail,
\begin{eqnarray*}
w-p=u^w+ tms
\end{eqnarray*}
o\`u $u^w=\ln(m^w)$ et $tms=\ln(TMS)$. On aura donc l'\'egalit\'e suivante:
\begin{eqnarray*}
pmt-u^p & = & u^w+ tms\\
\Rightarrow pmt-tms&=&u^w+u^p.
\end{eqnarray*}
\`A l'\'equilibre concurrentielle $pmt=tms$ ce qui implique que $\ln(\delta)=u^w+u^p$ mesure le degr\'e de distortions r\'esultant des imperfections de march\'e.
\item Montrez graphiquement que les imperfections sur le march\'e du travail dues aux marges ajout\'ees $m^w$ et $m^p$ conduisent \`a un niveau d'emploi tendanciel $\bar L$ qui est inf\'erieur \`a l'emploi en concurrence parfaite.
Pour obtenir votre graphique vous pouvez utiliser les \'equations sous forme logarithmique.\\
{\bf R\'eponse:} Voir le graphique dans Gali, Gertler et Lopez-Salido (2007).
\item \`A l'aide de votre graphique, montrez \`a quoi correspond la perte d'efficacit\'e caus\'ee par les imperfections de march\'e pour la valeur de $\bar L$.
\item Si nous considérons maintenant des fluctuations symétriques autour de l'\'equilibre, l'emploi variera entre $L^2>\bar{L}$ et $L^1<\bar{L}$. Montrez graphiquement que le gain en période d'expansion de l'emploi est inférieur à la
perte en période de récession.\\
{\bf R\'eponse:} Voir le graphique dans Gali, Gertler et Lopez-Salido (2007).
\item  
 \`A partir de la mesure de variation de bien-\^etre (\ref{fperte}), expliquez pourquoi le gain en périodes d'expansion de l'emploi est inférieur à la
perte en périodes de récession (ce que vous avez montr\'e graphiquement).\\
{\bf R\'eponse:} L'\'equation (\ref{fperte}) divise la perte de bien-\^etre en effet de premier ordre fonction de $\hat y$ et de deuxi\`eme ordre $\hat y^2$. L'effet de premier ordre est sym\'etrique autour de l'ouput potentiel et d\'epend seulement de $m^p$ et $m^w$. L'effet de deuxi\`eme ordre capte un effet asym\'etrique
d\^u \`a la variance de l'output gap et cet effet est n\'egatif peu importe que l'on soit \`a un niveau d'emploi qui soit inf\'erieur ou sup\'erieur \`a $\bar L$. Cet effet est caus\'e par la pente du taux marginal de substitution donc par la valeur des param\`etres $\theta$ et $\mu$ et la pente de la productivit\'e marginal du travail qui d\'pend du param\`etre $\alpha$.\\ 
{\bf Information suppl\'ementaire mais pas n\'ecessaire pour avoir tous les points} On remarque \'egalement que la perte de deuxi\`eme ordre augmente avec $\alpha$, donc avec une augmentation des rendements d\'ecroissants du travail dans la fonction de production. Une fonction de production avec des rendements d\'ecroissants plus importants correspond \`a une demande du travail avec une pente plus grande. De la m\^eme fa\c con, la perte de deuxi\`eme ordre augmente avec les valeurs d'aversion pour le risque $\theta$ et de la d\'esutilit\'e du travail $\mu$. Une augmentation de ces deux param\`etres correspond \`a une offre du travail avec une pente plus forte, donc plus in\'elastique (puisque $TMS=C^\theta L^\mu = Y^\theta L^\mu=B^\theta L^{\theta(1-\alpha)+\mu}$).
\end{enumerate}


\section{Politiques de stabilisation: Comment? (25
points)}

Supposons la fonction de perte sociale suivante qui d\'epend de l'output gap, du gap d'inflation et des variations de la productivit\'e $\hat b = \ln B - \ln \bar B$,
\begin{eqnarray}
\label{PSL}
SL \simeq -\hat b - a_d (\hat y - \hat b) + \frac{a_l}{2  (1- \alpha)}  (\hat y - \hat b)^2+ \frac{a_{\pi}}{2} \hat \pi^2.
\end{eqnarray}
avec $a_l > 0$, $a_{\pi} > 0$, $a_d = \frac{\bar \delta -1}{\bar \delta} = 1 - \frac{1}{ \bar m^w \bar m^p}$. 

%\subsection{Politique mon\'etaire optimale en contexte d'information parfaite}

On consid\`ere que la banque centrale observe parfaitement les diff\'erents types de chocs affectant l'\'economie et qu'elle peut ajuster instantan\'ement sa politique, donc le taux d'int\'er\^et, \`a ces chocs. On suppose \'egalement que l'\'economie r\'eagit imm\'ediatement aux changements de taux d'int\'er\^et r\'eel fix\'e par la banque centrale. Enfin, on suppose que le taux d'inflation anticip\'e correspond \`a la cible de la banque centrale $\pi^*$ et, donc, que la banque centrale est cr\'edible aux yeux des agents \'economiques. En consid\'erant que $\pi^e = \pi^*$, l'offre agr\'eg\'ee est maintenant donn\'ee par:
\begin{eqnarray}
\label{cible}
\hat \pi = \left( \frac{\alpha}{1-\alpha} \right) \hat y + \hat m - \frac{\hat b}{1-\alpha}, 
\end{eqnarray}
avec
\begin{eqnarray*}
\hat m = \ln \left(\frac{m^p}{\bar m^p}\right)+\ln \left(\frac{m^w}{\bar m^w}\right).
\end{eqnarray*}

\begin{enumerate}
\item D\'erivez l'output gap optimal que cherchera \`a atteindre la banque centrale afin de minimiser la fonction de perte $SL$.\\
{\bf R\'eponse:}
L'output gap optimal que cherchera \`a 
atteindre la banque centrale sera donn\'ee par la CPO suivante:
\begin{eqnarray*}
\frac{d SL}{d \hat y} = 0 & \Rightarrow & MSL_y + MSL_{\pi} \times \frac{\partial \hat \pi}{\partial \hat y} = 0 \\
&\Rightarrow & \frac{a_l}{1 -\alpha} (\hat y - \hat b) - a_d + a_{\pi} \hat \pi \times \left(\frac{\alpha}{1-\alpha} \right)=0,
\end{eqnarray*}
ce qui implique
\begin{eqnarray}
\label{MPR1}
\hat y = \hat b + (1-\alpha) \frac{a_d}{a_l} - \frac{\alpha a_{\pi}}{a_l} \hat \pi.
\end{eqnarray}


\item R\'e\'ecrivez l'output optimal en fonction des diff\'erents chocs en utilisant l'offre agr\'eg\'ee (\ref{cible}).\\
{\bf R\'eponse:} On ins\`ere l'\'quation (\ref{cible}) dans l'\'equation (\ref{MPR1}) et on obtient
\begin{eqnarray}
\label{rr1}
\hat y = \left(\frac{1-\alpha}{a_l+ \alpha \gamma a_{\pi}} \right) a_d  - \left(\frac{\gamma a_{\pi}}{a_l + \alpha \gamma a_{\pi}} \right) (1-\alpha) \hat m + \left( \frac{a_l + \gamma a_{\pi}}{a_l + \alpha \gamma a_{\pi}} \right) \hat b,
\end{eqnarray}
o\`u $\gamma = \frac{\alpha}{1-\alpha}$.
\item En utilisant l'\'equation de demande suivante:
\begin{eqnarray}
\label{rr2}
\hat y & = & \alpha_1 \hat g - \alpha_2 (r - \bar r) + v \nonumber\\
& = & \alpha_1 \hat g -\alpha_2 (i-\pi^* - \bar r) + v.
\end{eqnarray}
D\'erivez le taux d'int\'er\^et r\'eel qui permet d'atteindre l'output gap optimal.\\
{\bf R\'eponse:}
En \'egalisant (\ref{rr1}) et (\ref{rr2}), on obtient le taux d'int\'er\^et r\'eel optimal de telle sorte que l'output gap r\'esultant correspond \`a l'arbitrage optimal entre un objectif de stabilisation de l'emploi (donc de l'output) et de l'inflation,
\begin{eqnarray*}
r & = & \bar r + \frac{v + \alpha_1 \hat g}{\alpha_2}-
\left(\frac{1-\alpha}{\alpha_2(a_l+ \alpha \gamma a_{\pi})} \right) a_d  + \left(\frac{\gamma a_{\pi}}{\alpha_2(a_l + \alpha \gamma a_{\pi})} \right) (1-\alpha) \hat m \\
&&- \left( \frac{a_l + \gamma a_{\pi}}{\alpha_2(a_l + \alpha \gamma a_{\pi})} \right) \hat b.
\end{eqnarray*}
\item Comparez cette r\`egle de fixation du taux d'int\'er\^et par la banque centrale \`a la r\`egle de Taylor.\\
{\bf R\'eponse:}
Contrairement \`a la r\`egle de Taylor, le taux d'int\'er\^et ne r\'epond pas \`a l'output gap et \`a l'\'ecart de l'inflation par rapport \`a la cible mais plut\^ot aux diff\'erents chocs qui perturbent l'\'economie puisque la banque centrale conna\^it ces chocs dans un contexte d'information parfaite.
\item Montrez que la banque centrale peut compl\`etement stabiliser l'ouput gap et le gap d'inflation suite \`a des chocs de demande.\\
{\bf R\'eponse:}
Les chocs de demande peuvent \^etre compl\`etement stabilis\'es. Un choc de demande correspond ici \`a un choc sur la confiance des agents $v$ ou de politique fiscale  $\hat g$.
Ce r\'esultat provient de la corr\'elation parfaite entre l'output gap et du gap de l'inflation selon la forme lin\'eaire de l'offre agr\'eg\'ee (\ref{cible}). Une r\'eponse du taux d'int\'er\^et qui neutralise 
compl\`etement l'impact du choc de demande sur l'output gap neutralisera \'egalement aussi compl\`etement sur le gap de l'inflation. Suite \`a un choc de demande, la banque centrale peut fixer le taux d'int\'er\^et r\'eel de telle sorte que l'output reste constant par l'\'equation de la demande, laissant ainsi l'inflation inchang\'ee. Par exemple, une hausse de v \'egal \`a un certain ordre de grandeur $\chi$ peut \^etre enti\`errements compens\'e par une hausse du taux d'int\'er\^et de $\frac{\chi}{\alpha_2}$.

\end{enumerate}


\vspace{.25in}
%créé le: 26/10/2011

\end{document}