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\title{ECO 3022: Macroéconomie III \\
Examen intra: réponses}

\author{Steve Ambler\\
Département des sciences économiques\\
École des sciences de la gestion\\
Université du Québec  Montréal\\
{\copyright} 2010, Steve Ambler}

\date{Hiver 2010}

\begin{document}

\maketitle

\section{Équilibre sur un marché du travail concurrentiel}

\begin{enumerate}
\item En concurrence parfaite, la firme n'a aucun pouvoir d'affecter son prix en
  variant sa production. Son revenu marginal nominal est égal à son prix et s'il
  s'agit d'une économie avec une seule firme représentative, son revenu marginal
  réel est égal à un. Elle va égaliser ce revenu marginal au coût marginal. Si
  les rendements au facteur travail sont décroissants, son coût marginal baisse
  et elle va augmenter sa production afin d'éqaliser de nouveau coût marginal et
  revenu marginal. Ceci donne une fonction de demande de travail à pente
  négative.
\item Nous avons, égalisant offre et demande de travail,
\[
Z \left( \frac{W}{P} \frac{P}{P^e} \right)^{\phi}
= B \left( \frac{W}{P} \right)^{-\alpha} .
\]
Je crois qu'il est beaucoup plus facile d'introduire $\frac{P}{P^e}$ tout de
suite dans la fonction d'offre de travail en multipliant et divisant par
$P$. Nous avons
\[
\left( \frac{W}{P} \right)^{(\phi+\alpha)} = \frac{B}{Z}
\left( \frac{P^e}{P} \right)^{\phi}
\]
\[
\Rightarrow
\left( \frac{W}{P} \right) = \left( \frac{B}{Z} \right)^{\frac{1}{(\phi+\alpha)}}
\left( \frac{P}{P^e} \right)^{\frac{-\phi}{\phi+\alpha}} .
\]
Notez bien que du côté droit il y a $\left(\frac{P}{P^e}\right)$ et les facteurs
exogènes $Z$ et $B$. Une solution qui dépend du salaire nominal $W$ n'est pas
une solution.
\item Nous pouvons substituer soit dans la courbe de demande soit dans la courbe
  d'offre de travail (puisqu'offre égale demande à l'équilibre). Utilisant la
  fonction de demande, nous avons
\[
L = B \left( \frac{W}{P^e} \right)^{-\alpha}
\]
\[
= B \left(
\left( \frac{B}{Z} \right)^{\frac{1}{(\phi+\alpha)}}
\left( \frac{P^e}{P} \right)^{\frac{\phi}{\phi+\alpha}}
\right)^{-\alpha}
\]
\[
= B \left( \frac{Z}{B} \right)^{\frac{\alpha}{(\phi+\alpha)}}
\left( \frac{P}{P^e} \right)^{\frac{\alpha \phi}{\phi+\alpha}}
\]
\[
= B^{\frac{\phi}{(\phi+\alpha)}}
Z^{\frac{\alpha}{(\phi+\alpha)}}
\left( \frac{P}{P^e} \right)^{\frac{\alpha \phi}{\phi+\alpha}} .
\]
\item Nous avons
\[
l = \frac{\phi}{\phi+\alpha} b + \frac{\alpha}{\phi+\alpha} z
+ \frac{\alpha \phi}{\phi+\alpha} \left( p - p^e \right)
\]
\[
= \frac{\phi}{\phi+\alpha} b + \frac{\alpha}{\phi+\alpha} z
+ \frac{\alpha \phi}{\phi+\alpha} \left( (p-p_1) - (p^e-p_1) \right)
\]
\[
= \frac{\phi}{\phi+\alpha} b + \frac{\alpha}{\phi+\alpha} z
+ \frac{\alpha \phi}{\phi+\alpha} \left( \pi - \pi^e \right)
\]
\[
\Rightarrow
\frac{\partial l}{\partial (\pi-\pi^e)} = \frac{\alpha \phi}{\phi+\alpha} .
\]
\item Je pose ici une variation dans l'inflation non anticipée ce qui revient à
  une variation non anticipée dans le ratio $\frac{P}{P^e}$. En regardant bien
  les équations d'offre de travail et de demande de travail, nous constatons que
  si on dessine un graphique du marché dans le plan $\frac{W}{P}$ / $L$,
  $\frac{P}{P^e}$ est un facteur de déplacement \textbf{de la courbe
    d'offre}. Si $P$ augmente par rapport à $P^e$, le salaire réel anticipé est
  plus grand que le salaire réel réalisé et l'offre de travail augmente pour un
  niveau donné du salaire réel. La courbe d'offre se déplace vers la droite, ce
  qui fait augmenter l'emploi et fait diminuer le salaire réel d'équilibre. Il
  fallait au moins que les réponses de l'emploi et du salaire réel soient
  compatible avec les réponses calculées dans les parties 2 et 3 pour avoir tous
  les points.
\item Ce qui caractérise le long terme ici, comme dans le modèle étudié en
  classe, c'est la condition $P=P^e$. Nous avons tout de suite
\[
\frac{\bar{W}}{\bar{P}} = 
\left( \frac{\bar{B}}{\bar{Z}} \right)^{\frac{1}{(\phi+\alpha)}} ,
\]
où j'ai écrit des barres sur les variables pour indiquer qu'il s'agit de valeurs
de long terme, et
\[
\bar{L} =
= \bar{B}^{\frac{\phi}{(\phi+\alpha)}}
\bar{Z}^{\frac{\alpha}{(\phi+\alpha)}} .
\]
\end{enumerate}

\section{Marché du travail concurrentiel versus marché du travail
syndicalisé (10 points)}

\begin{enumerate}
\item S´il y a un marché du travail syndicalisé où le syndicat fixe le salaire
  nominal à l'avance, l'emploi sera déterminé par la demande de travail. S'il y
  a une augmentation imprévue de l'inflation (l'argument est symétrique pour une
  baiss inattendue), le salaire réel est plus faible que prévu et la demande de
  travail augmente. Il n'y a pas de réponse du salaire nominal, et après coup
  l'emploi sera plus élevé que le niveau anticipé par le syndicat. Sur un marché
  du travail concurrentiel, par contre, la demande excédentaire va créer un
  ajustement immédiat du salaire nominal à la hausse, ce qui fait augmenter le
  slaire réel et ce qui fait diminuer la quantité demandée de travailleurs par
  la firme. Comme nous avons vu en classe, la réponse de l'emploi dépendra entre
  autres de l'élasticité de l'offre de travail et doit être inférieur à la
  réponse de l'emploi (sauf dans le cas extrême où l'offre de travail est
  infiniment élastique).
\item 
  \begin{itemize}
\item Nous savons que l'élasticité de l'offre de travail est empiriquement assez
  faible. La réponse de l'emploi aux chocs dans le modèle concurrentiel sera
  trop faible pour prédire ou répliquer la variabilité de l'emploi dans les
  données.
\item Dans le modèle concurrentiel, il n'y a pas de chômage. Le modèle n'a
  aucune chance de reproduire les faits stylisés en ce qui concerne les
  fluctuations du taux de chômage.
   \end{itemize}
\end{enumerate}

\section{Choix du salaire par un ménage monopolistique
(\emph{25 points})}

Cette question était la plus ardue de l'examen. J'ai été assez généreux dans ma
correction, et j'ai donné plusieurs points pour des tentatives de réponse, même
si les réponses n'étaient pas justes.

\begin{enumerate}
\item Nous avons
\[
U = \ln \left( \frac{W}{P} H \right) - \frac{1}{1+\phi} H^{(1+\phi)} .
\]
Notez bien qu'il y a \textbf{trois termes} qui dépendent de $W$. $W$ paraît
directement dans la fonction d'utilité et $H$, qui dépend de $W$, paraît à deux
endroits. Lorsqu'on calcule la condition du premier ordre, il faut utiliser à la
fois la règle des produits et la règle des dérivées en chaîne. Cette partie de
la question était généralement ratée, avec peu d'exceptions. Une révision des
règles de base du calcul différentiel serait appropriée. Je vous garantie que je
vais vous donner au moins une question simple d'optimisation à l'examen
final. La condition du premier ordre est
\[
\frac{\partial U}{\partial W} = 0
\]
\[
\Rightarrow
\frac{1}{\left( \frac{W}{P} H \right)} 
\frac{\partial \left( \frac{W}{P} H \right)}{\partial W}
- \frac{\partial \left( \frac{1}{1+\phi} H^{(1+\phi)} \right)}{\partial W} = 0
\]
\[
\Rightarrow
\frac{1}{\left( \frac{W}{P} H \right)} \left(
\frac{1}{P} H \frac{\partial W}{\partial W} +
\frac{W}{P} \frac{\partial H}{\partial W} \right)
- \frac{1+\phi}{1+\phi} H^{\phi} \frac{\partial H}{\partial W} = 0
\]
\[
\Rightarrow
\frac{1}{C} \left( \frac{1}{P} H  
+ \frac{W}{P} \frac{\partial H}{\partial W} \right)
- H^{\phi} \frac{\partial H}{\partial W} = 0.
\]
\begin{itemize}
\item Pour passer de la première ligne à la deuxième, on utilise la règle des
  dérivées en chaîne (ainsi bien sûr que la règle des sommes). Pour passer de la
  deuxième ligne à la troisième, on utilise la règle des produits. Le premier
  terme dans la fonction d'utilité dépend du revenu réel qui est le
  \textbf{produit} du salaire réel fois les heures. Il faut donc utiliser la
  règle des produits quand on calcule la dérivée.
\item J'ai essayé d'être le plus explicite possible dans cette réponse. Soyez
  certain(e) de bien comprendre comment calculer cette CPO, et d'être
  complètement à l'aise avec l'application des règles de base de
  différentiation. Sinon, je répète qu'il faudrait réviser les règles de base de
  la différentiation.
\item Notez bien que je vous ai demandé d'utiliser le salaire nominal comme la
  variable de choix de la firme. Il est possible aussi d'utiliser les heures $H$
  (les deux sont reliés après tout par la demande de travail de la firme) mais
  je crois que l'algèbre est beaucoup plus facile avec $W$ comme variable de
  choix.
\item Notez bien qu'il faut tenir compte, tel que j'indique dans l'énoncé de la
  question, de l'impact du choix du salaire nominal sur les heures par le biais
  de la demande d'emploi.
\end{itemize}
\item La condition dit que le revenu marginal obtenu en ajustant le salaire
  nominal, pondéré par l'utilité marginale de la consommation, doit être égal au
  coût marginal provenant de la désutilité marginale du travail. Notez que le
  l'expression pour le revenu marginal tient compte de l'impact négatif sur les
  heures de travail d'une augmentation du salaire nominal. Le revenu marginal
  réel (par rapport au salaire nominal) est tout simplement
\[
\frac{\partial \left( \frac{W}{P} H \right)}{\partial W}
\]
\[
= \frac{1}{P} H + \frac{W}{P} \frac{\partial H}{\partial W} ,
\]
ce qui est égal à l'expression entre parenthèse du premier terme de la CPO.
\item Non. Il a maximisé sujet à la courbe de demande de travail à laquelle il
  fait face.
\item Nous avons
\[
\frac{1}{C} \frac{1}{P} H \left( 1 + 
\left( \frac{\partial H}{\partial W} \frac{W}{H} \right)
\right) =
H^{1+\phi} \frac{1}{W} 
\left( \frac{\partial H}{\partial W} \frac{W}{H} \right)
\]
\[
\Rightarrow \frac{1}{C} \frac{1}{P} \left( 1 - \eta \right)
= - H^{\phi} \frac{1}{W} \eta .
\]
\item Nous avons
\[
\frac{W}{P} = \frac{\eta}{\eta-1} \frac{H^{\phi}}{(1/C)} .
\]
\begin{itemize}
\item Le salaire réel est une marge ajoutée ($\eta/(\eta-1) > 1$) sur le coût
d'opportunité du ménage qui est mesuré par la désutilité marginale du travail
$H^{\phi}$.
\item On divise par l'utilité marginal de la consommation $(1/C)$ afin de
  mesurer cette désutilité dans les mêmes unités de mesure que le salaire réel
  (unités de bien par unité de temps). $H^{\phi}$ est exprimé en unités
  d'utilité par unité de temps tandis que $(1/C)$ est exprimée en unités
  d'utilité par unité de bien. Donc les unités de mesure sont
\[
\frac{\mbox{unit\'es d'utilit\'e} / \mbox{unité de temps}} 
{\mbox{unit\'es d'utilit\'e} / \mbox{unit\'e de bien}}
= \frac{\mbox{unit\'es de bien}}{\mbox{unité de temps}}
\]
\item Il n'était pas nécessaire de fournir cette explication concernant les
  unités de mesure pour avoir tous les points.
\end{itemize}
\end{enumerate}

\section{Caractéristiques de la courbe de demande agrégée (15
points)}

Soit l'équation suivante qui nous donne un équilibre sur le marché des biens et
services:
\[
y - \bar{y} = \alpha_1 \left( g_t - \bar{g} \right)
- \alpha_2 \left( r_t - \bar{r} \right) + v_t ,
\]
où $g_t$ représente les dépenses publiques, $r_t$ est le taux d'intérêt réel, et
$v_t$ est un choc de demande. Soit la règle de Taylor
\[
r_t = i_t - \pi^e_{t+1} = \bar{r} + h \left( \pi_t - \pi^* \right)
+ b \left( y_t - \bar{y} \right) , \quad h,b > 0 .
\]

\begin{enumerate}
\item La règle de Fisher dit
\[
r_t = i_t - \pi^e_{t+1} .
\]
Pour être capable de manipuler le taux d'intérêt réel en fixant le taux
d'intérêt nominal, la banque doit connaître l'inflation anticipée.
\item Tel qu'étudié en classe, le choc de demande dépend des dépenses publiques
  et d'un terme qui capte le degré d'optimisme du secteur privé concernant
  l'évolution future de l'économie. Cet optimisme (ou pessimisme) peut faire
  varier les dépenses d'investissement privé ou les dépenses de consommation
  privée pour un niveau donné du revenu réel ou du taux d'intérêt réel. J'ai
  pénalisé sévèrement ceux qui ont écrit qu'une variable \textbf{endogène}
  pouvait faire déplacer la courbe de demande agrégée.
\item Le paramètre $h$ capte l'importance accordée par la banque centrale à la
  réduction de fluctuations de l'inflation. Le paramètre $b$ capte l'importance
  qu'elle accorde à la réduction de fluctuations de l'écart d'output.
\item La banque centrale doit contrecarrer l'inflation en réduisant la demande
  agrégée. Pour ce faire elle doit faire augmenter le taux d'intérêt réel.  Face
  à une augmentation imprévue de l'inflation, elle peut combattre cette
  inflation en réduisant la demande agrégée. Pour le faire, elle doit faire
  augmenter le taux d'intérêt réel. Donc, sa réponse à l'inflation, mesurée par
  $h$, doit être positive.
\item Si $h$ est élevé, la banque se préoccupe davantage de fluctuations du
  taux d'inflation. Ses réponses vont faire diminuer la variabilité de
  l'inflation par rapport à l'écart d'output. La pente de la courbe DA sera
  relativement plat. Inversément, si $b$ est élevé, la pente de la courbe DA
  sera relativement abrupte. Algébriquement, substituant
\[
r_t - \bar{r} = h \left( \pi_t - \pi^* \right)
+ b \left( y_t - \bar{y} \right)
\]
dans l'équation d'équilibre sur le marché des biens et services, nous avons
\[
y - \bar{y} = \alpha_1 \left( g_t - \bar{g} \right)
- \alpha_2 \left( h \left( \pi_t - \pi^* \right)
+ b \left( y_t - \bar{y} \right) \right) + v_t
\]
\[
\Rightarrow
\left( 1 + \alpha_2 b \right) \left( y_t - \bar{y} \right)
= - \alpha_2 h \left( \pi_t - \pi^* \right)
+ \alpha_1 \left( g_t - \bar{g} \right) + v_t
\]
\[
\Rightarrow
\left( y_t - \bar{y} \right) =
\frac{- \alpha_2 h}{\left( 1 + \alpha_2 b \right)} \left( \pi_t - \pi^* \right)
+ \frac{1}{\left( 1 + \alpha_2 b \right)} \left( \alpha_1 \left( g_t - \bar{g}
\right) + v_t \right)
\]
Dans le plan $\pi$/$y$ avec $\pi$ sur l'axe vertical, il est clair que la pente
(en valeur absolue) de la courbe DA est donnée par
\[
\frac{\left( 1 + \alpha_2 b \right)}{\alpha_2 h} .
\]
La pente devient plus abrupte si $b$ augmente, et moins abrupte si $h$
augmente.

\end{enumerate}

\section{Ajustement dans le modèle d'offre agrégée / demande
agrégée (25 points)}

\begin{enumerate}
\item Il faut dessiner un graphique avec $\pi$ sur l'axe vertical, $y$ sur l'axe
  horizontal, une courbe d'offre agrégée de long terme vertical au point où
  $y=\bar{y}$, et des courbes de demande agrégée (à pente négative) et d'offre
  agrégée (à pente positive) avec un point d'intersection \textbf{à droite} de l
  courbe d'offre agrégée de long terme.
\item C'est la cible d'inflation $\pi^*$.
\item C'est l'hypothèse que l'inflation anticipée pour la période suivante est
  égale tout simplement à l'inflation courante, ou
\[
\pi^e_{t+1} = \pi_t .
\]
\item L'équation de la courbe d'offre agrégée en $t+1$ est donnée par
\[
\pi_{t+1} = \pi^e_{t+1} + \gamma \left( y_{t+1} - \bar{y} \right) + s_{t+1} .
\]
Nous savons qu'au point sur cette courbe d'offre agrégée où $y_{t+1}=\bar{y}$ et
en l'absence de chocs, il faut que $\pi_{t+1} = \pi^e_{t+1}=\pi_t$. Donc,
lorsqu'on trace la courbe d'offre agrégée de court terme en $t+1$, son point
d'itersection avec la courbe d'offre agrégée de long terme est au point où le
taux d'inflation est égal au taux d'inflation réalisé en $t$.
\item Il faut que la courbe d'offre agrégée de court terme coupe la courbe
  d'offre agrégée de long terme au point où le taux d'inflation est égal au taux
  d'inflation réalisé en $t$, tel qu'indiqué dans la réponse à la partie
  précédente.
\item C'est la courbe d'offre agrégée qui se déplace de période en période, et
  qui revient vers sa position initiale avant le choc. Pour avoir tous les
  points, il fallait utiliser le même principe décrit dans la partie précédente
  pour trouver l'emplacement exacte de la courbe d'offre agrégée de court
  terme. J'ai enlevé des points à ceux qui ont illustré un déplacement de la
  courbe de demande agrégée. On pose au départ un choc d'offre, et l'ajustement
  des attentes inflationnistes n'affecte que la courbe d'offre agrégée de court
  terme.
\item Le long terme est caractérisé (dans ce modèle) par la condition
  $P=P^e$. Pendant toutes les périodes durant l'ajustement vers l'équilibre de
  long terme, il y a soit surestimation sous sousestimation du taux
  d'inflation. Si l'économie au point de départ a un écart de production
  $(y_t-\bar{y})$ positif, il y aura en fait une sousestimation
  systématique du taux d'inflation.
\item Nous avons vu que l'économie ne revient à l'équilibre de long terme
  \textbf{asymptotiquement}, c'est à dire après un nombre infini de
  périodes. Cette conclusion est indépendant de la vitesse d'ajustement que nous
  avons mesuré par le paramètre $\beta$. Ce paramètre, qui découle de la
  solution du modèle (où chaque variable, soit $(\pi_t-\pi^*)$ soit
  $(y_t-\bar{y})$ est exprimée comme une équation de récurrence du premier ordre
  et où $\beta$ est le coefficient de persistance associé au premier retard de
  la variable. Nous pouvons utiliser ces équations pour analyser le nombre de
  périodes requis pour que l'économie parcoure la moitié de la distance vers
  l'équilibre de long terme. Ce n'était pas nécessaire de reproduire la formule
  exacte pour avoir tous les points.
\end{enumerate}

\section{Impact de chocs et ajustement (10 points)}

\begin{enumerate}
\item Il s'agit d'un déplacement vers le haut de la courbe d'offre agrégée de
  court terme. J'ai pénalisé sévèrement les réponses où on a fait déplacer la
  courbe de demande agrégée.
\item Le choc d'offre est $s_t$ dans le modèle. Voir l'équation (42) du chapitre
  18. Les éléments sont les éléments dans la définition de ce choc: la marge
  ajoutée par les firmes, $m^p$, la marge ajoutée $m^w$ par les syndicats, et le
  progrès technique $B$. J'ai pénalisé sévèrement les réponses qui ont indiqué
  des variables \textbf{endogènes} comme facteurs de déplacement. L'inflation
  est la variable qu'on retrouve sur l'axe vertical du graphique de la courbe
  d'offre agrégée de court terme. Elle ne peut être un facteur de déplacement de
  la courbe. Etc.
\item Le processus d'ajustement est en sens inverse par rapport à la question
  5. L'emplacement des courbes d'offre agrégée de court terme successives
  devaient obéir aux mêmes principes décrits dans les réponses à cette question
  (notamment comment trouver l'emplacement de la courbe en fonction de
  l'inflation anticipée) pour avoir tous les points.
\end{enumerate}


\vspace{.25in}
créé le: 13/03/2010

\end{document}