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\title{ECO 3022: Macroéconomie III \\
Examen intra: examen différé}

\author{Steve Ambler\\
Département des sciences économiques\\
École des sciences de la gestion\\
Université du Québec  Montréal\\
{\copyright} 2010, Steve Ambler}

\date{Hiver 2010}

\begin{document}

\maketitle

Je vous demande d'écrire \textbf{lisiblement}. J'ai une incitation très forte à
ne pas passer trop de temps à déchiffrer des réponses barbouillées.  Lorsque je
vous demande de justifier votre réponse, il va de soi que la grande majorité des
points seront attribuées pour la justification, qui peut être graphique,
algébrique ou en mots (si ce n'est pas spécifié): la coh\'erence et la logique
sont primordiales.

La documentation n'est pas permise. Il n'y a pas de question chiffrée, donc les
calculatrices sont interdites aussi. Vous avez trois heures.

\section{Réponses courtes (20 points)}

\begin{enumerate}
\item Quels sont les facteurs de déplacement de la courbe de demande agrégée?
  Si la banque centrale est très préoccupée par les fluctuations de l'écart
  d'output $(y_t - \bar{y}_t)$, est-ce que la pente de la courbe de demande
  agrégée sera plus abrupte ou moins abrupte. Expliquez.
\item Sur le marché du travail concurrentiel du chapitre 18, l'écart entre
  l'emploi à court terme et l'emploi de long terme est donné par
\[
\left( l - \bar{l} \right)
= \left( \frac{1}{\alpha+1/\phi} \right) \left( \pi - \pi^e \right) ,
\]
où $\phi$ est l'élasticité de l'offre de travail et $0< \alpha < 1$. Sur un
marché du travail syndicalisé, l'écart est égal à
\[
\left( l - \bar{l} \right)
= \left( \frac{1}{\alpha} \right) \left( \pi - \pi^e \right) .
\]
Sur quel marché est-ce que la réponse de l'emploi à une variation inattendue de
l'inflation est plus grande? Pourquoi? Sous quelles conditions est-ce que la
réponse est identique dans les deux cas? Expliquez.
\item Dans le modèle où les syndicats fixent les salaires nominaux de leurs
  secteurs afin de réaliser un salaire réel anticipé, qu'est-ce qui différenci
  le court terme et le long terme dans le modèle? Expliquez en détail.
\end{enumerate}

\section{Modèle d'équilibre général concurrentiel (40 points)}

\begin{enumerate}
\item La productivité marginale est la dérivée partielle de la fonction de
  production par rapport au facteur travail. On a
\[
\frac{\partial Y_t}{\partial L_t} = (1-\alpha) B_t {L_t}^{-\alpha}
\]
\item La firme maximise son profit en choisissant $L_t$. Utilisant la fonction
  de production pour substituer $Y_t$ dans l'équation qui donne le profit de la
  firme, son problème est
\[
\max_{L_t} \nu_t = B_t {L_t}^{(1-\alpha)} - w_t L_t .
\]
Puisque nous sommes en concurrence parfaite par hypothèse, la firme prend comme
donné le salaire réel. La CPO est
\[
(1-\alpha) B_t {L_t}^{-\alpha} - w_t = 0
\]
\[
\Rightarrow
(1-\alpha) B_t {L_t}^{-\alpha} = w_t
\]
Cette équation dit que la valeur du produit marginal du travail (si la firme est
représentative, le prix relatif du bien qu'elle produit est unitaire) est égale
au coût marginal du travail.
\item Il faut tout simplement isoler $L_t$. Nous avons
\[
{L_t}^{-\alpha} = \frac{w_t}{(1-\alpha) B_t}
\]
\[
\Rightarrow
L_t = \left( \frac{w_t}{(1-\alpha) B} \right)^{-1/\alpha} .
\]
Il n'est pas surprenant que nous obtenons ainsi une fonction de demande de
travail à pente négative dans le plan $w_t/L_t$.
\item Nous sommes en concurrence parfaite. À l'équilibre, demande de travail
  égale offre de travail. La fonction d'offre de travail nous est donnée. Nous
  avons
\[
\left( \frac{w_t}{(1-\alpha) B_t} \right)^{-1/\alpha}
= D_t \left( \frac{w_t}{\bar{w}_t} \right)^{\eta}
\]
\[
\Rightarrow
{w_t}^{\eta+1/\alpha} = \left( (1-\alpha) B_t \right)^{1/\alpha}
{\bar{w}_t}^{\eta} \frac{1}{D_t}
\]
\[
\Rightarrow
w_t = \left( (1-\alpha) B_t \right)^{\frac{1}{1+\alpha \eta}}
{\bar{w}_t}^{\frac{\alpha \eta}{1+\alpha \eta}}
{D_t}^{\frac{-\alpha}{1+\alpha \eta}}
\]
\item À l'équilibre, offre est égale à demande. Nous pouvons substituer soit
  dans la courbe d'offre soit dans la courbe de demande. Vous devriez vérifier
  qu'on obient la même solution pour l'emploi dans les deux cas. Substituant
  dans la courbe de demande, nous avons
\[
L_t = \left( (1-\alpha) B_t \right)^{1/\alpha} {w_t}^{-1/\alpha}
\]
\[
= \left( (1-\alpha) B_t \right)^{1/\alpha}
\]
\[
\left(
\left( (1-\alpha) B_t \right)^{\frac{1}{1+\alpha \eta}}
{\bar{w}_t}^{\frac{\alpha \eta}{1+\alpha \eta}}
{D_t}^{\frac{-\alpha}{1+\alpha \eta}}
\right)^{-1/\alpha} .
\]
Simplifiant, nous obtenons
\[
L_t = {\bar{w}_t}^{\frac{-\eta}{1+\alpha \eta}}
\left( (1-\alpha) B_t \right)^{\frac{\eta}{1+\alpha \eta}}
{D_t}^{\frac{1}{1+\alpha \eta}} .
\]
\item Substituant $w_t=\bar{w}_t$ dans la fonction d'offre de travail, et
  utilisant $\bar{D_t}$ pour indiquer la valeur tendantielle de $D_t$, nous
  avouns tout de suite
\[
\bar{L}_t = \bar{D}_t .
\]
\item À long terme, $w_t = \bar{w}_t$. Substituant dans la solution pour le
  salaire réel, et substituant la valeur tendantielle de $B_t$, soit
  $\bar{B}_t$, et la valeur tendantielle de $D_t$, soit $\bar{D}_t$, nous
  obtenons
\[
\bar{w}_t = \left( (1-\alpha) \bar{B}_t \right)^{\frac{1}{1+\alpha \eta}}
{\bar{w}_t}^{\frac{\alpha \eta}{1+\alpha \eta}}
{\bar{D}_t}^{\frac{-\alpha}{1+\alpha \eta}} .
\]
Simplifiant, nous obtenons
\[
{\bar{w}_t}^{\frac{1+\alpha \eta - \alpha \eta}{1+\alpha \eta}}
=
\left( (1-\alpha) \bar{B}_t \right)^{\frac{1}{1+\alpha \eta}}
{\bar{D}_t}^{\frac{-\alpha}{1+\alpha \eta}}
\]
\[
\Rightarrow
{\bar{w}_t}^{\frac{1}{1+\alpha \eta}}
=
\left( (1-\alpha) \bar{B}_t \right)^{\frac{1}{1+\alpha \eta}}
{\bar{D}_t}^{\frac{-\alpha}{1+\alpha \eta}}
\]
\[
\Rightarrow
\bar{w}_t =
(1-\alpha) \bar{B}_t {\bar{D}_t}^{-\alpha} .
\]
\item Nous avons déjà trouvé une expression pour l'emploi de long
  terme. Substituant dans la fonction de production, nous avons
\[
\bar{Y}_t = \bar{B}_t {\bar{D}_t}^{(1-\alpha)} .
\]
\item Le salaire réel varie de façon proportionelle avec $\bar{B}_t$. L'offre de
  travail ne dépend que de $\bar{D}_t$ à long terme. La productivité marginale
  du travail est proportionnelle à $B_t$ et donc à $\bar{B}_t$ à long
  terme. Nous sommes en concurrence parfaite et nous savons donc que le facteur
  travail reçoit la valeur de son produit marginal comme salaire.
\item Nous avons, substituant la solution pour le salaire réel de long terme
  dans l'équation pour l'emploi d'équilibre,
\[
L_t =
\left( (1-\alpha) B_t \right)^{\frac{\eta}{1+\alpha \eta}}
{D_t}^{\frac{1}{1+\alpha \eta}}
\left( (1-\alpha) \bar{B}_t {\bar{D}_t}^{-\alpha} \right)^{\frac{-\eta}{1+\alpha \eta}}
\]
\[
\Rightarrow L_t =
\left( \frac{(1-\alpha) B_t}
{(1-\alpha) \bar{B}_t}
\right)^{\frac{\eta}{1+\alpha \eta}}
{D_t}^{\frac{1}{1+\alpha \eta}}
\bar{D_t}^{\frac{\alpha \eta}{1+\alpha \eta}}
\]
\[
\Rightarrow
l_t = \frac{\eta}{1+\alpha \eta} \left( b_t - \bar{b}_t \right)
+ \frac{1}{1+\alpha \eta} d_t
+ \frac{\alpha \eta}{1+\alpha \eta} \bar{d}_t
\]
où comme d'habitude les variables en minuscules sont des logs des variables en
majuscules, et
\[
\bar{l}_t = \bar{d}_t
\]
Soustrayant la dernière équation de celle qui précède, nous avons
\[
\Rightarrow
\left( l_t - \bar{l}_t \right) = 
\frac{\eta}{1+\alpha \eta} \left( b_t - \bar{b}_t \right)
+ \frac{1}{1+\alpha \eta} \left( d_t - \bar{d}_t \right) .
\]
\item Nous avons à partir de l'énoncé
\[
\left( y_t - \bar{y}_t \right) = 
\left( b_t - \bar{b}_t \right) + (1-\alpha) \left( l_t - \bar{l}_t \right)
\]
\[
\Rightarrow
\left( y_t - \bar{y}_t \right) =
\frac{1+\alpha \eta + (1-\alpha) \eta}{1+\alpha \eta}
\left( b_t - \bar{b}_t \right) +
\frac{1-\alpha}{1+\alpha \eta} \left( d_t - \bar{d}_t \right)
\]
\[
\Rightarrow
\left( y_t - \bar{y}_t \right) =
\frac{1 + \eta}{1+\alpha \eta}
\left( b_t - \bar{b}_t \right) +
\frac{1-\alpha}{1+\alpha \eta} \left( d_t - \bar{d}_t \right) .
\]
\item On ne peut trouver le niveau des prix d'équilibre avec l'information
  fournie. L'équilibre est défini en termes \textbf{réels}. Il faudrait inclure
  une condition d'équilibre sur le marché monétaire pour pouvoir déterminer le
  niveau des prix et/ou le salaire.
\item Directement à partir de la théorie quantitative, nous avons
\[
\left( m_t - \bar{m}_t \right) - \left( p_t - \bar{p}_t \right)
+ \left( v_t - \bar{v}_t \right) = \left( y_t - \bar{y}_t \right) .
\]
Isolant $\left( p_t - \bar{p}_t \right)$, nous obtenons tout de suite
\[
\left( p_t - \bar{p}_t \right)
= \left( m_t - \bar{m}_t \right) + \left( v_t - \bar{v}_t \right)
- \left( y_t - \bar{y}_t \right) .
\]
Notez que cette partie est reliée à la partie précédante. Ayant posé une
condition d'équilibre sur le marché monétaire, nous pouvons maintenant trouver
une solution pour le niveau des prix et/ou l'inflation. Substituant la solution
pour $\left( y_t - \bar{y}_t \right)$ (je ne vous ai pas demandé ceci!), nous
obtenons
\[
\left( p_t - \bar{p}_t \right) =
\]
\[
\left( m_t - \bar{m}_t \right) + \left( v_t - \bar{v}_t \right)
- \frac{1 + \eta}{1+\alpha \eta} \left( b_t - \bar{b}_t \right) -
\frac{1-\alpha}{1+\alpha \eta} \left( d_t - \bar{d}_t \right) .
\]
\end{enumerate}

\section{Choix du salaire par un syndicat monopoleur (20
points)}

Soit un syndicat qui choisit le salaire afin de maximiser un objectif qui est
défini comme
\[
\Omega = \left( \frac{W_i}{P} - b \right) {L_i}^{\eta} , \quad \eta > 0 ,
\]
où $W_i$ est le salaire nominal du secteur $i$, $P$ est le niveau des prix, $b$
est le coût d'opportunité d'un travailleur dans le secteur $i$, et $L_i$ est
l'emploi dans le secteur. Le syndicat fait face à une courbe de demande de la
part d'une firme donnée par
\[
L^i = B \left( \frac{W_i}{P} \right)^{-\sigma} , \quad \sigma > 1.
\]

\begin{enumerate}
\item Calculez l'élasticité de la demande de travail par la firme par rapport au
  salaire nominal $W_i$.
\item Expliquez pourquoi on impose $\sigma > 1$. Qu'est-ce qui arrive si cette
  hypothèse ne tient pas? (Indice -- c'est une question à laquelle vous devriez
  être capable de répondre après avoir suivi Micro I; est-ce qu'un monopoleur va
  choisir de produire une quantité dans la partie inélastique de sa courbe de
  demande?)
\item Écrivez la condition du premier ordre (CPO) pour la maximisation de son
  objectif par le syndicat, qui choisit le salaire nominal $W^i$. Au lieu de
  substituer $L^i$ utilisant la fonction de demande de travail dans l'objectif,
  vous pouvez écrire la CPO en fonction de $\frac{\partial L^i}{\partial
    W^i}$. Vous ne devez même pas utiliser la deuxième équation ci-dessus.
\item Exprimez la CPO en fonction de \textbf{l'élasticité} de la demande de
  travail.
\item Trouvez la solution pour $\frac{W_i}{P}$. Interprétez ce que vous
  trouvez. Expliquez en mots comment le salaire optimal (du point de vue du
  syndicat) dépend de $\sigma$ et de $\eta$.
\end{enumerate}

\section{Ajustement dans le modèle d'offre agrégée / demande
agrégée (20 points)}

\begin{enumerate}
\item Illustrez par un graphique l'équilibre d'une économie où la production est
  égale à son niveau naturel ($y>\bar{y}$). Étiquetez bien les axes du
  graphique. Mettez sur le graphique la courbe de demande agrégée, la courbe
  d'offre agégée de court terme et la courbe d'offre agrégée de long
  terme. Indiquez sur le graphique l'output naturel $\bar{y}$ et le taux
  d'inflation de long terme ($\bar{\pi}$).
\item Quels sont les facteurs qui peuvent faire déplacer la courbe d'offre?
  Expliquez clairement.
\item Illustrez la réponse à court terme de l'économie face à un choc d'offre
  négatif temporaire qui arrive au début de la période $t$.
\item Expliquez comment trouvez l'inflation anticipée $\pi^e_{t+1}$ sur le
  graphique, étant donnée une hypothèse d'attentes statiques.
\item Illustrez, sur le même graphique, l'équiibre macroéconomique en $t+1$.
\item Illustrez, sur le même graphique, le processus d'ajustement vers
  l'équilibre de long terme.
\item Expliquez en mots quelles sont les erreurs d'anticipation des individus
  con\-cer\-nant l'inflation le long de ce processus d'ajustement.
\item Expliquez en mots combien de temps est requis pour que l'économie se
  retrouve à son équilibre de long terme. Étant donné ceci, expliquez (en mots
  et/ou illustré avec une équation simple) comment on peut mesurer la vitesse de
  convergence de l'économie.
\end{enumerate}

\vspace{.25in}
créé le: 25/02/2010

\end{document}
