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\title{ECO3022 : Macroéconomie III \\
Politiques de stabilisation: Pourquoi ?}

\author{Steve Ambler et Alain Guay \\
  Département des sciences économiques \\
  École des sciences de la gestion \\
  Université du Québec à Montréal \\
  \copyright 2012 : Steve Ambler et Alain Guay}

\date{Automne 2012}

\usepackage[pdftex,bookmarks,colorlinks]{hyperref}

\doublespacing

\begin{document}

\maketitle

\newpage
\raggedright
\tableofcontents

\section{Introduction}

Objectifs du cours:
\begin{itemize}
\item Étudier les objectifs de la stabilisation macroéconomique.
\item Montrer pourquoi les fluctuations économiques (le cycle économique)
  peuvent être coûteuses en termes de bien-être économique.
%\item Justifier pourquoi la politique monétaire active peut être bénéfique.
%\item Étudier les caractéristiques de règles de Taylor optimales étant donné le
% type de choc qui fait dévier l'équilibre économique de l'équilibre de long
% terme.
\end{itemize}

\section{Les coûts en bien-être des fluctuations}

\subsection{La fonction de perte sociale}
Le besoin de la politique de stabilisation repose sur l'hypothèse que les agents
économiques ont une aversion aux fluctuations dans la consommation, l'emploi et
l'inflation. Puisque les fluctuations de l'emploi et la consommation sont
fortement corrélées avec la production, on va supposer une fonction de perte
sociale qui a le forme suivante :
\begin{equation}
SL = \frac{a_y}{2}  (y- \bar y)^2 + \frac{a_{\pi}}{2} (\pi - \pi^*)^2. \label{1}
\end{equation}
Les paramètres $a_y$ et $a_{\pi}$ déterminent l'importance du coût social
marginal des fluctuations de l'écart du produit et de l'inflation autour de la
cible. En effet,
\[
\frac{\partial SL}{\partial (y - \bar y)}  =  a_y (y-\bar y)
\]
et
\[
\frac{\partial SL}{\partial (\pi-\pi^*)}  =  a_{\pi} (\pi-\pi^*) .
\]
L'équation (\ref{1}) peut être utilisée pour calculer le coût social moyen des
fluctuations de l'output et de l'inflation en prenant l'opérateur d'espérance,
c'est à dire
\begin{equation}
\label{cs}
\mbox{E} (SL) = \frac{a_y}{2}  \sigma_{y}^2 + \frac{a_{\pi}}{2} \sigma_{\pi}^2 ,
\end{equation}
où
\[
\sigma^2_y \equiv \mbox{E} \left[ \left( y_t-\bar{y} \right)^2 \right]
\]
et
\[
\sigma^2_{\pi} \equiv \mbox{E} \left[ \left( \pi_t-\pi^* \right)^2 \right],
\]
Cette équation nous dit que la perte moyenne de bien-être de la société augmente
avec la variance $\sigma_{y}^2$ de la déviation de l'ouput par rapport à
l'output potentiel et avec la variance $\sigma_{\pi}^2$ de l'inflation autour de
la cible. Cette fonction de perte sociale soulève plusieurs questions.
\begin{enumerate}
\item Pourquoi est-ce que la fonction de perte dépend des \textbf{fluctuations}
  du produit et de l'inflation et non de leurs niveaux?
\item Qu'est-ce qui détermine les poids $a_{y}$ et $a_{\pi}$ dans cette fonction
  de perte?
\item Est-ce qu'on devrait vraiment stabiliser le produit autour de sa tendance,
  peu importe le type de choc qui frappe l'économie?
\item Quelle est la cible d'inflation appropriée?
\item Est-ce qu'il y a un arbitrage entre la stabilité du produit et la
  stabilité de l'inflation, ou existe-t-il y a des politiques qui réduisent la
  variabilité des deux en même temps?
\item Quelles sont les propriétés des politiques de stabilisation optimales?
\end{enumerate}

\subsection{Les coûts en bien-être des fluctuations de la
consommation et de l'emploi}

\begin{itemize}
\item L'aversion au risque implique que les fluctuations de la consommation sont
  coûteuses pour les individus.
\item Les individus peuvent lisser leur consommation s'ils ont accès à des
  instruments financiers. Les marchés financiers ne sont pas parfaits, alors ce
  lissage n'est pas parfait non plus.
\item Les contrats d'assurance privés peuvent aussi permettre de lisser la
  consommation face à des chocs imprevus au revenu individuel, mais il y a des
  problèmes de risque moral et de sélection adverse.
\begin{enumerate}
\item Un individu dont le revenu est assuré n'a pas un incitatif très fort de ne
  pas perdre son emploi. Ceci est un problème de \textbf{risque moral}.
\item Ce sont surtout les individus qui on un emploi à caractère risqué qui ont
  une incitation à assurer leur revenu. Ceci est un problème de
  \textbf{sé\-lec\-tion adverse}.
\end{enumerate}
\item Des chercheurs comme Lucas prétendent que les coûts en bien-être dûs aux
  fluctuations de la consommation sont minimes. C'est encore un sujet
  controversé.\footnote{Pour un résumé succinct de l'argument de Lucase, voir
    \url{https://en.wikipedia.org/wiki/Welfare\_cost\_of\_business\_cycles}}
\item L'analyse de Lucas est basée sur un modèle à agent représentatif où
  l'économie fluctue autour d'un équilibre sans distortions (un modèle où il y a
  concurrence parfaite et sans taxes distortionnaires). Le modèle développé dans
  la sous-section suivante est très différent. Il suppose un modèle où
  l'équilibre est sous-optimal à cause de distortions provenant du pouvoir de
  monopole (du côté des syndicats et des firmes) et de taxes non forfaitaires.
\end{itemize}

\subsection{Un modèle pour comprendre les coûts en bien-être
des fluctuations de l'output}

Nous allons examiner pourquoi les fluctuations de l'output autour de sa tendance
de long terme ont un coût social.

Supposons une économie avec un consommateur représentatif dont l'utilité dépend
de sa consommation $C$ et de la quantité de travail $L$ qu'il fournit. On va
supposer la forme fonctionnelle suivante pour la fonction d'utilité:
\begin{equation}
U(C,L) = \frac{C^{(1-\theta)}}{1-\theta}
- \frac{L^{(1+\mu)}}{1+\mu}   \quad  \theta > 0, \quad \mu > 0.
\end{equation}
Le paramètre $\theta$ représente l'élasticité de l'utilité marginale de la
consommation par rapport à la consommation. Plus la valeur de $\theta$ est
élevée, plus la courbure de la fonction d'utilité est forte. Le paramètre
$\theta$ correspond au coefficient d'aversion relative pour le risque (CRRA en
anglais). Le paramètre $\mu$ mesure à quelle vitesse la désutilité marginale du
travail augmente avec les heures travaillées. Une valeur élevée de $\mu$
implique (en concurrence parfaite) une élasticité de l'offre de travail faible.

On va également supposer que le consommateur reçoit un revenu exogène $I$ et un
revenu de son travail: $\frac{W}{P} (1-\tau) L$, où $\tau$ est le taux de
taxation sur son salaire. La contrainte budgétaire du consommateur représentatif
sera alors
\[
C = \frac{W}{P} (1-\tau) L + I.
\]
(On suppose que le consommateur dépense tout son revenu disponible en biens de
consommation. Autrement dit, on fait abstraction de l'épargne.)  En substituant
$C$ par $\frac{W}{P} (1-\tau) L + I$ dans la fonction d'utilité et en maximisant
par rapport à la quantité de travail L, on obtient le problème de maximisation
de l'utilité suivant:
\[
\max_{L} \left\{ 
\frac{\left( \frac{W}{P}(1-\tau) L + I \right)^{(1-\theta)}}{1-\theta}
-  \frac{L^{(1+\mu)}}{1+\mu}
\right\}
\]
la CPO du problème est la suivante, sous l'hypothèse où l'individu prend le
salaire réel comme fixe ou exogène:
\[
\frac{\partial U}{\partial C}
\frac{\partial C}{\partial L}
+ \frac{\partial U}{\partial L} = 0
\]
\begin{equation}
\Rightarrow C^{-\theta} \frac{W}{P} (1-\tau) - L^\mu = 0 \label{CPO}.
\end{equation} 
Cette CPO peut-être réécrite de la façon suivante:
\begin{eqnarray*}
\frac{W}{P} (1-\tau) = \frac{L^\mu}{C^{-\theta}} \equiv MRS(C : L ) ,
\end{eqnarray*} 
où $MRS(C : L)$ est le taux marginal de substitution entre la consommation et la
quantité de travail offerte (\og marginal rate of substitution \fg{~} en
anglais), c'est à dire $MRS(C : L)= -\frac{\partial U}{\partial L} /
\frac{\partial U}{\partial C}=C^\theta L^\mu$.  Nous pouvons calculer ce taux de
substitution marginal entre la consommation et travail comme l'arbitrage entre
la consommation et travail qui garde constant le niveau d'utilité de
l'individu. Calculant le différentiel total de la fonction d'utilité nous
obtenons
\[
d U = 0 = \frac{\partial U}{\partial C} dC + \frac{\partial U}{\partial L} dL
= C^{-\theta} dC - L^\mu dL
\]
\[
\Rightarrow
MRS(C :L) = \left( \frac{\partial C}{\partial L} | (dU=0) \right)
= -\frac{\partial U}{\partial L} / \frac{\partial U}{\partial C}=C^\theta L^\mu.
\]
On notera par la suite $MRS(C : L)$ par $MRS$. Le taux marginal de substitution
révèle de combien en consommation on doit compenser le consommateur
représentatif pour qu'il travaille une quantité de travail supplémentaire. Dans
une économie avec un marché du travail en concurrence parfaite, et donc sans
chômage involontaire, notre consommateur représentatif fournira une quantité de
travail telle que le taux marginal de substitution entre la consommation et le
travail soit égal au salaire réel $\frac{W}{P}$, ce qui correspond à la CPO
(\ref{CPO}). Ceci nous donne ce qu'on pourrait appeler une courbe d'offre de
travail (en concurrence parfaite) sur le graphique 19.2 du livre. Notez que
cette courbe d'offre imbrique une distortion qui provient du taux de taxation
sur le revenu salarial.

Maintenant, supposons une petite augmentation du salaire réel net
($(W/P)(1-\tau)$) où on ajuste le revenu exogène $I$ afin de garder constant le
niveau de consommation de l'individu. À partir de la CPO, en calculant le
différential total de l'équation, nous obtenons
\[
d \left( \frac{W}{P}(1-\tau) \right) C^{-\theta} -
\theta \frac{W}{P}(1-\tau) C^{-(\theta+1)} dC
= \mu L^{(\mu-1)} dL .
\]
En supposant $dC=0$ (on garde le niveau de consommation constant, on obtient
\[
d \left( \frac{W}{P}(1-\tau) \right) C^{-\theta} -
= \mu L^{(\mu-1)} dL .
\]
\[
\frac{d\left( \frac{W}{P}(1-\tau) \right)}{dL}
= \frac{C^{-\theta}}{\mu L^{(\mu-1)}}
= \frac{L^{\mu}/(w(1-\tau))}{\mu L^{(\mu-1)}}
= \frac{L}{w(1-\tau) \mu}
\]
où nous avons utilisé
\[
C^{-\theta} = \frac{L^{\mu}}{w(1-\tau)}
\]
(qui découle de la CPO (\ref{CPO}) du problème du consommateur), et nous avons
défini $w\equiv \frac{W}{P}$. Égalisant la première expression dans cette suite
d'égalités à la dernière, nous obtenons
\begin{equation}
\frac{dL/L}{d\left(w(1-\tau)\right)/\left(w(1-\tau)\right)} = \frac{1}{\mu} .
\end{equation}
Nous apprenons de cette égalité que $1/\mu$ mesure l'élasticité de l'offre de
travail une fois que nous enlevons l'effet de revenu. La valeur quantitative de
cette élasticité va nous aidder à mieux mesurer le coût des fluctuations.

Nous allons supposer qu'il existe des imperfections de marché de telle sorte
(ex: pouvoir monopolistique des syndicats, présence de salaire d'efficience) que
le salaire réel est plus élevé que le $MRS(C : L)$, donc qu'il existe une marge
ajoutée $m^w$. Ainsi,
\[
\frac{W}{P}= m^w \frac{MRS}{(1-\tau)}= m^w \frac{C^\theta L^\mu}{(1-\tau)} .
\]
Cette condition pour le travail est semblable à ce que nous avons vu dans le
chapitre 17. Au lieu d'une marge ajoutée sur le coût d'option mesuré par $b$ (le
paramètre du chapitre 17), nous avons une marge ajoutée sur le coût d'option du
loisir sacrifié pour travailler une heure de plus. Nous avons
\begin{equation}
m^w = \frac{(W/P)(1-\tau)}{C^\theta L^\mu} > 1. \label{LS}
\end{equation}

Examinons maintenant le comportement de la firme. Une firme concurrentielle
ayant le travail comme le seul intrant variable et une fonction de production
\begin{equation}
Y = BL^{(1-\alpha)} \label{pdnfn}
\end{equation}
va maximiser son profit en maximisant
\[
\max_{L} \left\{ B L^{(1-\alpha)} - \left( \frac{W}{P} \right) L \right\} .
\]
Sa condition du premier ordre est
\[
(1-\alpha) B L^{-\alpha} - \left( \frac{W}{P} \right) = 0
\]
\[
\Rightarrow
(1-\alpha) B L^{-\alpha} = (1-\alpha) Y/L = \left( \frac{W}{P} \right)
\equiv MPL
\]
où $MPL$ est le produit marginal du travail (\og marginal product of labor
\fg{~} en anglais). Cette condition mène à la courbe de demande de travail (en
concurrence parfaite) sur le graphique 19.2 du livre. L'équation de demande de
travail est
\[
L = \left( \left( \frac{1}{(1-\alpha)B} \right)
\left( \frac{W}{P} \right) \right)^{-1/\alpha} .
\]

Dans un contexte de concurrence monopolistique, la firme va fixer un prix qui
sera une marge ajoutée sur le coût marginal de production, qui dans le contexte
présent est le salaire nominal divisé par la productivité marginale du travail:
\[
P = m^p \frac{W}{(1-\alpha) B L^{-\alpha}} .
\]
\begin{equation}
\Rightarrow
\frac{W}{P} = \frac{1}{m^p} (1-\alpha) B L^{-\alpha}
= \frac{(1-\alpha) Y/L}{m^p} \equiv \frac{MPL}{m^p} , \label{LD}
\end{equation}
Sa courbe de demande de travail tenant compte de son pouvoir de monopole sur le
marché des biens et services est donné par $MPL/m^p$ sur le graphique 19.2 du
livre. À cause des deux marges ajoutées (par le syndicat et par la firme) le
salaire réel d'équilibre sur le marché du travail dans le secteur sera égal à
$\overline{\left(\frac{W}{P}\right)}$ sur le graphique 19.2 du livre, en
l'absence de rigidités nominales. L'emploi d'équilibre est donné par $\bar{L}$
sur le graphique.

Il est clair que l'équilibre sur le marché est socialement sous-optimal. Les
imperfections de marchés (les marges ajoutées) et la taxation mènent à un écart
entre $MRS$ et $MPL$. À partir des équations (\ref{LS}) et (\ref{LD}) nous
obtenons
\begin{equation}
\frac{MPL}{MRS} = \frac{m^pm^w}{(1-\tau)} \equiv \bar{\delta} .
\end{equation}
Nous allons nous servir de cet écart proportionnel $\bar{\delta}$ (qui résume
par combien l'économie dévie par rapport à l'équilibre concurrentiel, et donc
résume la perte d'efficience) ci-dessous.

Pour examiner les pertes d'efficience, nous allons transformer nos variables
sous forme logarithmique, ce qui nous permettra d'obtenir un graphique similaire
au graphique 19.2 dans le livre mais plus facilement
interprétable.\footnote{Cette section des notes est basée sur l'article de Galí,
  Gertler et Lopez-Salido (2007). Les dérivations qui suivent sont semblables à
  celles qui mènent à l'équation (18) dans le livre, y compris l'idée de
  calculer une approximation du type Taylor du deuxième ordre de la fonction
  d'utilité du consommateur représentatif.} Ainsi, on a du côté de la demande de
travail:
\[
w-p=mpl-u^p
\]
où $w=\ln(W)$, $p=\ln(P)$, $mpl = \ln(MPL)$ et $u^p = \ln (m^p)$. Du côté de
l'offre de travail,
\[
w - p = u^w + mrs - \ln(1-\tau)
\]
où $u^w=\ln(m^w)$ et $mrs =\ln(mrs)$. On aura donc l'égalité suivante:
\[
mpl - u^p  =  u^w + mrs - \ln(1-\tau)
\]
\[
\Rightarrow mpl - mrs = u^w + u^p - \ln(1-\tau).
\]
À l'équilibre concurrentiel (sans taxation sur le revenu du salaire) $mpl=mrs$
ce qui implique que $\ln \left( \bar{\delta} \right) = u^w+u^p-\ln(1-\tau)$
mesure le degré de distortion résultant des imperfections de marché ou de façon
équivalente $\bar{\delta} = \frac{MPL}{MRS}=m^w m^p / (1-\tau) > 1$. Il y a ce
qu'on peut appeler une distortion provenant du marché des biens et services
mesurée par $u^p$. Il y a aussi une distortion provenant du marché du travail
mesurée par $u^m$. Finalement, il y a une distortion provenant de la taxation
non forfaitaire sur le revenu du travail mesurée par $-\ln(1-\tau)$. On peut
maintenant examiner le graphique 1 de l'article de Galí, Gertler et Lopez-Salido
(2007). Sur ce graphique la perte d'efficacité causée par les imperfections de
marché est représentée par la distance entre $mpl$ et $mrs$. Cette distance est
égale à $u^w + u^p$.\footnote{Dans leur article, il n'y a pas de taxation
  distortionnaire.}

Si nous considérons maintenant des fluctuations symétriques (de l'emploi) autour
de cet équilibre, l'emploi variera entre $L^2>\bar{L}$ et $L^1<\bar{L}$. Il y a
un gain et une réduction des distortions entre $\bar{L}$ et $L^2$, et une perte
(avec une augmentation de la taille des distortions) entre $\bar{L}$ et
$L^1$. Il est clair aussi que le gain en périodes d'expansion de l'emploi est
inférieur à la perte en périodes de récession. Nous allons expliquer ceci à
l'aide de la fonction de perte sociale.

\setcounter{equation}{13}

On va maintenant supposer que les marges ajoutées fluctuent autour de leur
niveau tendanciel $\bar{m}^w$ et $\bar{m}^p$ causant ainsi des fluctuations de
l'emploi (et donc de l'output par l'entremise de la fonction de production) et
de la consommation. En utilisant la fonction d'utilité du consommateur
représentatif, on va chercher à calculer l'impact de telles fluctuations. Pour
ce faire, nous allons effectuer une expansion du deuxième ordre de la fonction
d'utilité autour des valeurs tendancielles. Prenons une fonction quelconque
$f(v , z)$ avec deux arguments $v$ et $z$ et effectuons une expansion du type 
Taylor du deuxième ordre autout de $\bar v$ et $\bar z$. On obtiendra
\[
f(v,z) \approx f(\bar v, \bar z) +
\frac{\partial f(\bar v, \bar z)}{ \partial v} (v-\bar v) +
\frac{\partial f(\bar v, \bar z)}{ \partial z} (z-\bar z) +
\frac{1}{2} \frac{\partial^2 f(\bar v, \bar z)}
{ \partial v \partial v} (v-\bar v)^2
\]
\begin{equation}
+ \frac{1}{2} \frac{\partial^2 f(\bar v, \bar z)}{ \partial z \partial z}
(z-\bar z)^2
+ \frac{\partial^2 f(\bar v, \bar z)}
{ \partial v \partial z} (v-\bar v)(z-\bar z).
\end{equation}
En appliquant cette formule à la fonction d'utilité, on obtient
\[
U(C,L) \approx U(\bar C, \bar L) + \bar C^{-\theta} \left(C-\bar C\right)
- \bar L^\mu \left(L-\bar L \right)
\]
\[
- \frac{\theta \bar C^{-(\theta+1)}}{2} \left(C - \bar C\right)^2
- \frac{\mu\bar L^{(\mu-1)}}{2} \left(L - \bar L \right)^2,
\]
en considérant que le terme $\frac{\partial^2 U(C,L)}{\partial C \partial L} =
0$, où cette égalité doit tenir à cause de la CPO du consommateur
représentatif. Cette approximation du deuxième ordre ne devrait pas trop
inexacte an autant que l'on ne se trouve pas trop loin des valeurs tendancielles
$\bar C$ et $\bar L$. On peut réécrire l'équation précédente de la façon
suivante:
\[
U(C,L) - U(\bar C, \bar L) \approx \bar C^{(1-\theta)}
\left(\frac{C-\bar C}{\bar C} \right) - \bar L^{(1+\mu)}
\left(\frac{L-\bar L}{\bar L} \right)
\]
\begin{equation}
- \frac{\theta \bar C^{(1-\theta)}}{2}
\left(\frac{C - \bar C}{\bar C}\right)^2
- \frac{\mu\bar L^{(1+\mu)}}{2} \left(\frac{L - \bar L}{\bar L} \right)^2.
\end{equation}
En divisant des deux côtés de cette équation par $C^{(1-\theta)}$, on peut alors
réécrire cette équation comme:
\[
\frac{U(C,L) - U(\bar C, \bar L)}{\bar{C}^{(1-\theta)}} \approx
\]
\[
\left(\frac{C-\bar C}{\bar C} \right)
- \frac{\theta}{2} \left(\frac{C - \bar C}{\bar C}\right)^2
\]
\[
- \frac{\bar{L}^{(1+\mu)}}{C^{(1-\theta)}}
\left(\frac{L-\bar{L}}{\bar{L}} \right)
- \frac{\mu}{2} \frac{\bar{L}^{(1+\mu)}}{C^{(1-\theta)}}
\left(\frac{L - \bar{L}}{\bar{L}} \right)^2 .
\]
En utilisant les approximations
\[
\hat{c} \equiv \ln(C) - \ln \left( \bar{C} \right)
\approx \frac{C-\bar{C}}{\bar{C}}
\]
et
\[
\hat{l} \equiv \ln(L) - \ln \left( \bar{L} \right)
\approx \frac{L-\bar{L}}{\bar{L}} ,
\]
nous pouvons réécrire cette dernière équation comme
\begin{equation}
\label{prel}
\frac{\Delta / \bar U_C}{ \bar{C}} \approx \hat{c}
- \frac{\theta \hat{c}^2}{2}
- \left( \frac{\bar C^{\theta} \bar L^{1 + \mu}}{\bar C} \right)
\left( \hat{l} + \frac{\mu \hat{l}^2}{2} \right),
\end{equation}
où
\[
\Delta \equiv U(C,L)- U(\bar C, \bar L)
\]
représente le différentiel du niveau d'utilité $U(C,L)$ par rapport au niveau
d'utilité aux valeurs tendancielles $U(\bar C, \bar L)$ et
\[
\bar{U}_C \equiv \frac{\partial U(\bar{C}, \bar{L})}{\partial C} .
\]
Le terme $\Delta / \bar{U}_C$ mesure l'effet sur le bien-être de la déviation
par rapport à l'état stationnaire (donc aux valeurs tendancielles) en termes
d'unités de consommation. En divisant par $\bar{C}$, on obtient la variation du
bien-être exprimée en unités de consommation et par rapport au niveau de la
consommation à l'état stationnaire.

Dans cette économie, l'output est entièrement consommé, ainsi
$C=Y=BL^{1-\alpha}$ et pour une valeur constante de $B$, ceci nous donne
\[
\hat{c} = \hat{y} = (1-\alpha) \hat{l}
\]
En utilisant
\[
\bar{C} = \bar{Y} ,
\]
\[
\overline{MRS}
= \bar C^{\theta} \bar L^{\mu}
\]
et
\[
\overline{MPL} = (1-\alpha) \bar{Y} / \bar{L}
\]
on obtient
\[
\frac{\bar C^{\theta} \bar L^{1 + \mu}}{\bar C}
= \frac{\overline{MRS} \bar L}{\bar C}
= \frac{ \overline{MRS} (1 - \alpha) \bar Y} {\overline{MPL} \bar C}
= \frac{ \overline{MRS} (1 - \alpha) } {\overline{MPL}}
= \frac{(1-\alpha)}{\bar{\delta}}
\]
avec $\bar{\delta} = \frac{MPL}{MRS} = m^p m^w / (1-\tau) > 1$. On peut
maintenant réécrire l'équation (\ref{prel}) comme
\begin{equation}
\frac{\Delta / \bar U_C}{ \bar C} \approx \hat{c}
- \frac{\theta \hat{c}^2}{2} - \left( \frac{1 - \alpha}{\bar{\delta}} \right)
\left( \hat l + \frac{\mu \hat l^2}{2} \right). \label{perte1}
\end{equation}

Maintenant, utilisant $\hat c = \hat y = (1-\alpha) \hat l$, on peut réécrire
cette équation en fonction de l'écart du produit,
\begin{eqnarray}
\label{fperte}
\frac{\Delta / \bar U_C}{ \bar C} \approx
\left( \frac{\bar{\delta} -1}{\bar{\delta}} \right) \hat y
- \left( \theta + \frac{ \mu }{\bar{\delta} (1- \alpha)} \right)
\frac{\hat y^2}{2}.
\end{eqnarray}
L'équation (\ref{fperte}) divise la perte de bien-être en effet du premier
ordre, fonction de $\hat y$, et effet du deuxième ordre $\hat y^2$. L'effet du
premier ordre est symétrique autour de l'ouput potentiel et dépend seulement de
$m^p$ et $m^w$. L'effet du deuxième ordre capte un effet asymétrique dû à la
variance de l'écart du produit.
%Pour des valeurs plausibles de $\theta$, $\mu$ et $\alpha$, une valeur de
%$y_t$ plus grande que l'output potentiel $\bar y$,
%donc $\hat y > 0$ entra\^ inera une perte de deuxième ordre plus grande
%que le gain de premier ordre.
On remarque également que la perte du deuxième ordre augmente avec $\alpha$,
donc avec une augmentation des rendements décroissants du travail dans la
fonction de production. Une fonction de production avec des rendements
décroissants plus importants correspond à une demande du travail avec une pente
plus grande. De la même façon, la perte du deuxième ordre augmente avec les
valeurs d'aversion pour le risque $\theta$ et de la désutilité du travail
$\mu$. Une augmentation de ces deux paramètres correspond à une offre du travail
avec une pente plus forte, donc plus inélastique (puisque $MRS=C^\theta L^\mu =
Y^\theta L^\mu=B^\theta L^{\theta(1-\alpha)+\mu}$).

On peut calculer la perte moyenne de bien-être causée par les cycles
économique. Ceci consiste à calculer l'espérance de (\ref{fperte}),
\begin{equation}
\mbox{E} \left[\frac{\Delta / \bar U_C}{ \bar C} \right]
\simeq \left( \theta + \frac{ \mu }{\bar{\delta} (1- \alpha)} \right)
\frac{\sigma_y^2}{2}.
\end{equation}
puisque $\mbox{E}(\hat y)=0$ et $\sigma_y^2= \mbox{E}(\hat y^2)$. La perte de
bien-être moyenne dépend seulement du terme du deuxième ordre. En moyenne, le
consommateur représentatif sera donc mieux si l'output et l'emploi sont
stabilisés à leurs valeurs tendancielles respectives. De plus on peut diviser la
perte de bien-être en la partie qui provient des fluctuations de la
consommation: $\frac{\theta \sigma_y^2}{2}$, et la partie qui provient des
fluctuations de l'emploi: $ \left(\frac{ \mu }{\bar{\delta} (1- \alpha)} \right)
\frac{\sigma_y^2}{2}$.

En donnant des valeurs plausibles aux paramètres de la fonction de perte
sociale, Galí, Gertler et Lopez-Salido (2007) ont mesuré les coûts des
fluctuations pour l'économie américaine (avec des fonctions de production et
d'utilité un peu plus générales). Les résultats de leurs calculs sont résumés
dans le Tableau 1.

\begin{table}[ht]
\begin{center}
\caption{Les bénéfices de booms et les coûts de récessions}
\begin{tabular}{cccccc}
\\
\multicolumn{6}{c}{Bénéfices et coûts en \% de la consommation annuelle} \\
\hline
\multicolumn{3}{c}{Période} & Boom & Récession & Net \\
Début & Retournement & Fin & & & \\
\hline
68:{~}2 & 70:{~}2 & 72:{~}3 & +6.50 & -9.40 & -2.90 \\
72:{~}4 & 74:{~}4 & 77:{~}3 & +7.30 & -22.20 & -14.90 \\
77:{~}4 & 80:{~}2 & 83:{~}4 & +8.70 & -16.80 & -8.10 \\
87:{~}4 & 90:{~}4 & 94:{~}1 & +9.30 & -14.80 & -5.50 \\
\hline
\end{tabular}
\end{center}
\end{table}

Ce que montre ce calcul est que, dans la mesure où les fluctuations sont
symétriques autour d'un équilibre sans rigidités nominales où il y a les deux
types de distortions, il peut être avantageux de stabiliser les fluctuatons de
l'économie autour de ce point.

\subsection{La cible d'output appropriée}

La courbe d'offre agrégée de court terme dans une économie avec attentes
statiques peut être écrite come
\[
\pi_t = \pi_{t-1} + \gamma \left( y_t - \bar{y} \right) + s_t \label{3}
\]

L'analyse graphique du graphique 19.2 montre qu'il serait souhaitable de faire
augmenter l'emploi d'équilibre au delà de $\bar{L}$. Par contre, il est clair à
partir de (\ref{3}) que toute tentative de le faire de façon systématique
viendra au coût d'un taux d'inflation qui s'accélère.

\subsection{L'Impact de chocs de demande}

[À venir.]

\subsection{L'Impact de chocs technologiques}

\setcounter{equation}{27}

Nous allons supposer maintenant que le progrès technique $B$ peut dévier
temporairement de son niveau tendanciel. Définissant
\[
b \equiv \ln (B)
\]
et
\[
\bar{b} \equiv \ln \left( \bar{B} \right) ,
\]
nous avons à partir de la fonction de production (\ref{pdnfn}) que
\[
l - \bar{l} \equiv \hat{l} = \left( \left( y - \bar{y} \right) - 
\left( b - \bar{b} \right) \right)/(1-\alpha)
\equiv \left( \hat{y} - \hat{b} \right)/(1-\alpha) .
\]
C'est toujours le cas que toute la production dans l'économie est consommée, et
donc $\hat{c} = \hat{y}$. Insérant ces relations dans l'équation (\ref{perte1}),
nous obtenons
\[
\frac{\Delta / \bar U_C}{ \bar C} =
\hat{y} - \frac{\theta \hat{y}^2}{2}
- \left( \frac{1 - \alpha}{\bar{\delta}} \right)
\left( \left( \hat{y} - \hat{b} \right)/(1-\alpha)
+ \frac{\mu \left( \hat{y} - \hat{b} \right)^2/(1-\alpha)^2}{2} \right)
\]
\[
= \hat{b} + \left( \hat{y} - \hat{b} \right)
- \frac{1}{\bar{\delta}} \left( \hat{y} - \hat{b} \right)
- \frac{\theta}{2} \hat{y}^2
- \left( \frac{\mu}{2 \bar{\delta} (1-\alpha)}  \right)
\left( \hat{y} - \hat{b} \right)^2
\]
\[
= \hat{b} + \frac{(\bar{\delta}-1)}{\bar{\delta}} \hat{y}
- \frac{1}{2} \left(
\theta \hat{y}^2 + \frac{\mu}{\bar{\delta}(1-\alpha)}
\left( \hat{y} - \hat{b} \right)^2
\right)
\]
\begin{equation}
\Rightarrow \frac{\Delta / \bar U_C}{ \bar C} =
\end{equation}

[Le reste à venir.]

Sous certaines conditions nous pouvons dériver l'équation suivante:

\section{Les avantages d'un taux d'inflation stable}

Des changements inattendus du taux d'inflation provoquent de coûts à cause des
effets suivants.
\begin{itemize}
\item Ils provoquent des variations inattendues aux taux de rendement réels sur
  le capital et/ou sur le travail (des variations inattendues du salaire réel).
\item Ils provoquent des redistributions de richesse inattendues entre débiteurs
  et créditeurs.
\item Ils provoquent une plus grande dispersion de prix relatifs entre des
  firmes qui fixent leurs prix pour plusieurs périodes mais à des moments
  différents.
\end{itemize}

L'indexation de tous les contrats pourraient empêcher ces effets, mais pourtant
l'indexation est un phénomène qui est plutôt rare. Ceci s'explique probablement
par le fait que des individus différents se préoccupent de niveaux des prix (et
donc de taux d'inflation) différents. Une indexation à 100\% des contrats
pourrait aussi empêcher des ajustements de prix relatifs qui pourraient être
bénéfiques.

\subsection{La cible d'inflation appropriée}

L'inflation peut être coûteuse même si elle est stable et parfaitement bien
anticipée. Voici un résumé des coûts de l'inflation, même lorsqu'elle est
parfaitement bien anticipée.
\begin{itemize}
\item \emph{Coûts de semelle}. Un taux d'inflation plus élevé est accompagné
  d'un taux d'intérêt nominal plus élevé. Les ménages et les firmes économisent
  sur leurs encaisses réelles et doivent se rendre plus souvent à la banque pour
  retirer des encaisses pour fins d'effectuer leurs transactions.
\item \emph{Coûts de menu}. Avec un taux d'inflation plus élevé, les firmes
  doivent ajuster plus souvent leurs prix, ce qui implique des coûts
  (réétiqueter les marchandises, faire imprimer des menus avec des prix révisés,
  etc.).
\item \emph{Distortions de prix relatifs}. Les firmes en réalité n'ajustent pas
  leurs prix de manière synchronisée. Les firmes n'ayant pas ajusté leurs prix
  depuis plus longtemps auront des prix relatifs plus faibles. Les firmes venant
  tout juste d'ajuster leurs prix auront des prix relatifs plus élevés. Les
  distortions de prix relatifs sont un coût de l'inflation qui est privilégié
  par l'approche néo keynésienne à la macroéconomie. Voir à ce sujet Ambler
  (2008).
\item \emph{Distortions provenant du système de fiscalité}. L'inflation donne un
  écart entre le taux de rendement réel et le taux de rendement nominal. Dans la
  mesure où ce sont les rendements nominaux qui sont taxés, ceci pourrait mener
  à une situation où les rendements nominaux sont plus lourdement imposés
  seulement à cause de l'inflation.
\end{itemize}

Tout ceci pourrait suggérer que la cible d'inflation devrait être très faible ou
même zéro. Par contre, un problème fondamental avec une cible d'inflation très
faible est que ceci pourrait empêcher la banque centrale de stabiliser
l'économie lorsque sa règle dicterait un taux d'intérêt nominal
\textbf{négatif}. Le Japon a vécu ce type de situation pendant assez longtemps,
et plusieurs banques centrales sont dans cette situation depuis le début de la
crise financière de 2008.

Certains chercheurs pensent aussi qu'il y a de l'évidence que les salaires
nominaux sont \textbf{rigides à la baisse}. Dans des situations où les salaires
réels sont trop élevés, une baisse des salaires réels est plus difficile si les
salaires nominaux ne peuvent baisser et si l'inflation est très faible ou même
négative. L'importance théorique et empirique de ce phénomène est controversée,
mais l'importance empirique est assez bien établie.

\section{Les coûts en bien-être des fluctuations de l'inflation}

Nous voulons reproduire ici l'analyse de la section 19.3 du manuel et ainsi de
quantifier l'analyse qualitative des coûts de l'inflation dans la section
précédente. L'algèbre est relativement ardu. Le gain en intuition est
relativement maigre.

\setcounter{equation}{31}

Soit l'indice de consommation donné par
\begin{equation}
C = n \left(
\frac{1}{n} \sum_{i=1}^n {C_i}^{(\sigma-1)/\sigma}
\right)^{\sigma/(\sigma-1)} .
\end{equation}
Cet indice capte l'idée que la consommation agrégée dépend de la consommation de
biens individuels qui sont des substituts imparfaites les uns pour les
autres. On peut montrer que l'élasticité de substituion entre les biens
individuels est constante et donnée par $\sigma$, et que la maximisation de $C$
avec un budget donné mène à la fonction de demande suivante pour le bien
individuel $i$:
\begin{equation}
C_i = \left( \frac{P_i}{P} \right)^{-\sigma} \frac{C}{n}
\end{equation}
où $P_i$ est le prix du bien $i$ et $P$ est l'indice exact des prix donné par
\[
P = \left( \frac{1}{n} \sum_{i=1}^n {P_i}^{(1-\sigma)} \right)^{1/(1-\sigma)} .
\]
Nous avons aussi que
\[
\sum_{i=1}^n P_i C_i = \sum_{i=1}^n P_i 
\left( \frac{P_i}{P} \right)^{-\sigma} \frac{C}{n}
\]
\[
= P^{\sigma} C \left( \frac{1}{n} \sum_{i=1}^n {P_i}^{(1-\sigma)} \right)
\]
\[
= P^{\sigma} C P^{(1-\sigma)} = PC 
\]
\[
\Rightarrow PC = \sum_{i=1}^n P_i C_i .
\]

[Le reste à venir.]

\vspace{.25in} \noindent
Dernière modification : \textbf{04/04/2012}

\end{document}

\subsection{Règles versus discrétion}

La discussion de cette section est très générale. Dans ce qui suit, lorsque
j'écris \og banque centrale \fg, il peut s'agir aussi des autorités fiscales.

\begin{itemize}
\item La banque centrale doit décider soit de suivre une règle fixe (comme la
  règle de Taylor) soit d'utiliser de la discrétion.
\item Suivre une règle empêche la banque centrale de réagir de façon flexible à
  toute l'information dont elle dispose. Par exemple, la règle de Taylor permet
  de réagir aux écarts du produit ou de l'inflation, mais pas à d'autres
  indicateurs avancés de la conjonctore économique.
\item Néanmoins, il peut y avoir des avantages de se lier les mains en suivant
  une règle. Ceci peut augmenter la \textbf{crédibilité} de la politique
  monétaire, surtout dans des cas où la politique optimale est
  \textbf{dynamiquement incohérente}. L'incohérence dynamique des politiques est
  un sujet auquel nous reviendrons dans le chapitre 22 (si on a le temps, ce qui
  est douteux à ce stade-ci du trimestre). Surtout dans des cas où l'annonce
  maintenant d'une politique dans le futur peut avoir un impact sur le
  comportement du secteur privé, la crédibilité peut être très important. Un
  exemple dans le contexte actuel serait la promesse \og conditionnelle \fg{~}
  par la Banque du Canada de ne pas augmenter son taux directeur avant le
  milieu de 2010. C'est seulement dans la mesure où cette annonce était
  crédible qu'elle pouvait avoir un impact sur la structure par terme des taux
  d'intérêt, et de cette façon pouvait influencer les taux d'intérêt réels de
  moyen terme.
\item Dans ce qui suit, nous allons modéliser la politique monétaire optimale
  comme le choix optimal des coefficients d'une règle simple comme la règle de
  Taylor.
\end{itemize}

\section{Politique monétaire}

\subsection{Cadre d'analyse théorique}

Nous travaillons avec le modèle OA/DA du chapitre 18. 

Équilibre sur le marché des biens:
\begin{equation}
y-\bar{y} = \alpha_1 \left( g - \bar{g} \right) - \alpha_2 \left( r - \bar{r}
\right) + v . \label{four}
\end{equation}
Taux d'intérêt réel:
\begin{equation}
r = i - \pi^e_{t+1} . \label{five}
\end{equation}
Offre agrégée de court terme:
\begin{equation}
\pi = \pi^e + \gamma \left( y - \bar{y} \right) + s . \label{six}
\end{equation}
Règle de la politique monétaire:
\begin{equation}
i = \bar{r} + \pi^e_{+1} + h \left( \pi - \pi^* \right)
+ b \left( y - \bar{y} \right) . \label{seven}
\end{equation}
Formation des attentes:
\begin{equation}
\pi^e = \pi_{-1} . \label{eight}
\end{equation}

Substituant (\ref{five}) dans (\ref{seven}), substituant le résultat dans
(\ref{four}), et supposant que $g=\bar{g}$, nous obtenons la courbe de demande
agrégée
\begin{equation}
\pi = \pi^* - \left( \frac{1 + \alpha_2 b}{\alpha_2 h} \right)
\left( y - \bar{y} \right) + \frac{1}{\alpha_2 h} v , \label{9}
\end{equation}
où
\[
z = \frac{v}{1+\alpha_2 b} .
\]
Nous pouvons réécrire la courbe d'offre agrégée de court terme substituant
(\ref{eight}) dans (\ref{six}) pour obtenir
\begin{equation}
\pi = \pi_{-1} + \gamma \left( y - \bar{y} \right) + s .
\end{equation}

Dans l'annexe on montre que les variances du produit et de l'inflation sont
données par
\begin{equation}
\sigma^2_y = 
\frac{2 \gamma (1+\alpha \gamma)^{-1} \sigma^2_z + \alpha \sigma^2_s}
{\gamma \left(2+\alpha \gamma\right)}
\end{equation}
et
\begin{equation}
\sigma^2_{\pi} = \frac{ \gamma^2 \sigma^2_z + \sigma^2_s }
{ \left( \gamma^2 \alpha^2 + 2 \gamma \alpha \right) } ,
\end{equation}
où
\begin{equation}
\alpha \equiv \frac{\alpha_2 h}{1+\alpha_2 b} , \quad
\sigma^2_z \equiv \frac{\sigma^2_v}{\left( 1+\alpha_2 b \right)^2}
\label{thirteen}
\end{equation}

\subsection{La réaction appropriée aux chocs de demande}

En l'absence de chocs d'offre, à l'aide de (\ref{thirteen}), nous obtenons
\[
\sigma^2_y =
\frac{2 \sigma^2_z}
{\left( 1+\alpha \gamma \right) \left( 2+\alpha \gamma \right)}
\]
\begin{equation}
\Rightarrow
\sigma^2_y = \frac{2 \sigma^2_v}
{\left( 1 + \alpha_2 b + \alpha_2 \gamma h
\right)
\left( 2 (1+\alpha_2 b) + \alpha_2 \gamma h
\right)}
\label{14}
\end{equation}
et
\[
\sigma^2_{\pi} = \frac{\gamma \sigma^2_z}
{\gamma \alpha^2 + 2 \alpha}
\]
\begin{equation}
\Rightarrow
\sigma^2_{\pi} = \frac{\gamma \sigma^2_z}
{\gamma {\alpha_2}^2 h^2 + 2 \alpha_2 h (1+\alpha_2b)} .
\label{15}
\end{equation}

La solution pour la variance du produit est dévelopée en détail dans l'Annexe au
chapitre du manuel et dans ces notes. Le point est que les variances du produit
et de l'inflation dépendent du choix par la banque centrale des valeurs de $h$
et de $b$ de la règle de Taylor. Une fois les variances calculées, nous pouvons
analyser comment les variances changent pour des changements arbitraires de $h$
et de $b$, et analyser aussi le choix de valeurs optimales opur $h$ et pour
$b$.

Ces solutions pour la variance de l'écart d'output et la variance de l'écart
d'inflation nous montrent tout de suite que les deux variabilités répondent de
façon négative des valeurs de $h$ et de $b$. On peut comprendre l'intuition de
ce résultat à partir du graphique 18.4. En fait, l'intuition fournie par le
graphique 18.4 est à toutes fins pratiques suffisante. L'algèbre qui mène aux
équations (\ref{14}) et (\ref{15}) nous confirme que l'intution reste vraie
lorsqu'on calcule rigoureusement les variances du produit et de l'inflation,
tenant compte de la dynamique du modèle.

\begin{itemize}
\item Nous savons que la pente (en valeur absolute) de la courbe DA dépend
  positivement de $b$ et négativement de $h$. Avec un pente plus abrupte, pour
  un déplacement vertical donnée de DA, l'impact sur l'inflation et sur l'output
  diminue.
\item Nous savons aussi à partir de (\ref{9}) que pour une valeur donnée du choc
  $v$, la taille du déplacement vertical de DA dépend inversément de $h$. Si $h$
  est plus grand, le déplacement vertical de DA devient plus petit ainsi que
  l'impact sur l'inflation et le produit.
\item La conséquence des 2 points précédents est qu'une combinaison d'un $h$
  élevé et un $b$ encore plus élevé peut réduire l'impact de chocs de demande
  sur le produit et sur l'inflation.
\end{itemize}

Il n'y a pas \textbf{d'arbitrage} entre inflation et produit face aux chocs de
demande. La banque centrale devrait réagir fortement contre les chocs de
demande, et à la limite (si elle peut reconnaître les chocs de demande et peut y
réagir immé\-dia\-te\-ment) peut stabiliser l'économie parfaitement face à ce
type de choc.

\subsection{La réaction appropriée aux chocs d'offre}

En l'absence de chocs de demande, nous avons
\begin{equation}
\sigma^2_y = \frac{\sigma^2_s}{{\gamma}^² + \frac{2 \gamma}{\alpha}}
\label{16}
\end{equation}
et
\begin{equation}
\sigma^2_{\pi} = \frac{\sigma^2_s}{{\gamma}^² {\alpha}^2 + 2 \gamma \alpha} .
\label{17}
\end{equation}
La paramètre $\alpha$ est l'inverse de la pente de la courbe de demande agrégée
(en valeur absolue). Il est clair à partir de l'équation (\ref{17}) qu'une
augmentation de $\alpha$ fait diminuer la variabilité de l'inflation. Il est
clair à partir de (\ref{16}) qu'une augmentation de $\alpha$ fait augmenter la
variabilité du produit. Il y a donc un arbitrage entre variabilité de l'output
et variabilité de l'inflation. Contrairement au cas de chocs de demande, on ne
peut faire diminuer simulatanément la variabilité des deux.

Le graphique 18.5 montre qu'une pente abrupte de la courbe DA fait diminuer
l'impact de chocs d'offre sur le produit. Une pente plate de la courbe DA fait
diminuer l'impacts de chocs d'offre sur l'inflation.

\subsection{L'arbitrage entre variabilité du produit et variabilité de
  l'inflation}

On peut modéliser la politique monétaire optimale comme le choix des paramètres
$h$ et $b$ pour minimiser la fonction de perte sociale donnée par (\ref{1}). En
l'absence d'une contrainte de non-négativité sur le taux d'intérêt $i$, les CPOs
de ce problème d'optimisation peuvent s'écrire
\begin{equation}
\frac{\partial SL}{\partial h} = 0 \quad
\Rightarrow
\quad
\frac{\partial \sigma^2_y}{\partial h} 
+ \kappa \frac{\partial \sigma^2_{\pi}}{\partial h} = 0 ,
\label{18}
\end{equation}
et
\begin{equation}
\frac{\partial SL}{\partial b} = 0 \quad
\Rightarrow
\quad
\frac{\partial \sigma^2_y}{\partial b} 
+ \kappa \frac{\partial \sigma^2_{\pi}}{\partial b} = 0 .
\label{19}
\end{equation}

Le paramètre $\kappa$ est positif. Cela veut dire qu'une variation dans $h$ ou
$b$ qui fait diminuer la variabilité de l'inflation doit faire augmenter la
variabilité du produit, et vice versa. Donc, il y a inévitablement un arbitrage
entre variabilité de l'inflation et variabilité du produit.

\subsection{Résumé: politique optimale avec une règle de Taylor}

A partir de l'équation (19) du chapitre 18, nous avons
\begin{equation}
y_t - \bar{y} =
\beta \left( y_{t-1} - \bar{y} \right) + \beta \left( z_t - z_{t-1} \right)
- \alpha \beta s_t , \label{20}
\end{equation}
avec
\[
\beta \equiv \frac{1}{1+\alpha \gamma} , \quad \alpha \equiv
\frac{\alpha_2 h}{1+\alpha_2 b} .
\]
Si $h<0$, nous avons
\[
\beta > 1.
\]
En termes de notre analyse de la vitesse de convergence, non seulement la
demi-vie devient infinie, mais en fait il n'y a plus de convergence du
tout. L'équation (\ref{20}) devient une équation dynamique instable.

\begin{table}
\begin{center}
\caption{Politique monétaire optimale avec une règle de Taylor}
\begin{tabular}{lcc}
\\
Préférence pour & Chocs de demande & Chocs d'offre \\
& prédominants & prédominants \\
\hline
\\
Stabilité du produit & $h>0$ & $h \rightarrow \infty$ \\
& $b>0$ & $b>0$ \\
\\
Stabilité de l'inflation & $h>0$ & $h>0$ \\
& $b>0$ & $b<0$ \\
\hline
\end{tabular}
\end{center}
\end{table}

\subsection{L'expérience américaine}

Les données historiques montrent que durant la période 1960-1979, la valeur
empirique du coefficient $h$ était négative. Le graphique 19.7 indique que la
variabilité du produit a diminué durant la période 1987-1997. En fait, la
période qui a commencé au début des années 80 et jusqu'à la crise récente est
communément appelée la \og Grande Modération \fg. La cause principale de cette
grande modération est un sujet controversé. Plusieurs chercheurs attribuent la
variabilité réduite du produit et de l'inflation à la politique monétaire, en
particulier à l'adoption (explicite ou implicite) de cibles pour le taux
d'inflation par plusieurs banques centrales dans les pays
industrialisés. D'autres croient que la couase principale est la chance tout
simplement (une volatilité diminuée de chocs exogènes).

\section{Politique de stabilisation fiscale}

\begin{equation}
y - \bar{y} = \alpha_1 \left( g - \bar{g} \right) - \alpha_2
\left( r - \bar{r} \right) + v . \label{21}
\end{equation}
Supposons la règle de politique fiscale suivante:
\begin{equation}
g - \bar{g} = - c_{\pi} \left( \pi - \pi^* \right)
- c_y \left( y - \bar{y} \right) . \label{22}
\end{equation}

Nous obtenons la courbe de demande agrégée (avec politique de stabilisation
fiscale active suivante)
\begin{equation}
\pi = \pi^*
- \frac{1 + \alpha_1 c_y + \alpha_2 b}
{\alpha_1 c_{\pi} + \alpha_2 h}
\left( y - \bar{y} \right) +
\frac{v}{\alpha_1 c_{\pi} + \alpha_2 h} .
\label{23}
\end{equation}
L'équation (\ref{23}) a la même forme que la courbe de demande agrégée
(\ref{9}).

Nous pouvons tirer deux conclusions de cette analyse.
\begin{enumerate}
\item Les facteurs qui influencent les valeurs optimales de $c_y$ et de
  $c_{\pi}$ sont les mêmes que ceux qui influencent les valeurs optimales de $h$
  et de $b$.
\item En l'absence de contraintes sur les valeurs de $c_y$, $c_{\pi}$, $h$ et
  $b$, la politique fiscale ne permet pas de faire mieux que la politique
  monétaire (et vice versa).
\item Par contre, la politique monétaire a un avantage principal par rapport à
  la politique fiscale. La banque centrale peut ajuster rapidement son taux
  directeur, tandis que l'ajustement des dépenses publiques et/ou les taux de
  taxations est sujet à des délais plus longs.
\end{enumerate}

\section{Résumé}

\begin{enumerate}
\item La politique de stabilisation est l'utilisation active de la politique
monétaire et/ou de la politique fiscale afin d'influencer la demande agrégée.
\item L'instabilité du produit impose un coût sur les consommateurs. Les marchés
  pour l'assurance et les marchés financiers ne permettent pas de lisser
  parfaitement la consommation.
\item Les fluctuations de l'emploi provoquent des coûts en bien-être aux
  tra\-vai\-lleurs. Les coûts ne sont pas répartis de façon égale. Le niveau
  moyen du bien-être augmenterait si c'était possible de stabiliser l'emploi
  autour de son niveau naturel.
\item L'évidence empirique indique que les gains résultant d'une telle
  stabilisation pourraient être considérables.
\item Le niveau naturel de l'output est sousoptimal. Par contre, toute tentative
  de faire augmenter le produit à un niveau supérieur à son niveau naturel de
  façon systématique entraînera une accélération du taux d'inflation.
\item La variabilité de l'inflation est coûteuse puisqu'elle implique des
  variations de prix relatifs qui empêchent les ménages et les firmes de
  réaliser leurs plans.
\item Même la variabilité prévue de l'inflation provoque des variations de prix
  relatifs qui sont inefficientes.
\item Même si l'inflation est coûteuse, les cibles d'inflation sont généralement
  positives à cause de la contrainte sur le taux d'intérêt de court terme qui ne
  peut descendre en bas de zéro.
\item Une règle fiscale ou monétaire dicte comment l'instrument de la politique
  devrait être fixé étant donné l'état de l'économie.
\item La politique monétaire devrait réagir très fortement contre les chocs de
  demande. La politique monétaire peut stabiliser simultanément le produit et
  l'inflation.
\item Face aux chocs d'offre, il y a un arbitrage fondamental entre la
  variabilité du produit et la variabilité de l'inflation.
\item Lorsqu'il y a simultanément des chocs d'offre et des chocs de demande, il
  y a un arbitrage entre la variabilité du produit et la variabilité de
  l'inflation.
\item Le principe de Taylor s'applique peu import la source des chocs.
\item La politique fiscale n'apporte rien d'additionnel par rapport à la
  politique monétaire à l'exception de la possibilité de faire augmenter la
  demande agrégée lorsque le taux directeur de la banque est déjà près de zéro.
\end{enumerate}

\section{Annexe: les variances du produit et de l'inflation}

Le but de cette annexe est de calculer les variances du produit (ou plutôt de
son écart par rapport au niveau naturel du produit) et de l'inflation (son écart
par rapport à la cible d'inflation), tenant compte de la dynamique de l'économie
et donc de l'impact de chocs présents et passés sur le produit et sur
l'inflation.

Nous supposons ici qui les chocs $z$ et $v$ sont complètement transitoires (non
persistants). Selon l'équation (19) du chapitre 19, la solution pour l'écart du
produit dans le modèle peut s'écrire
\[
\widehat{y}_t = \beta \widehat{y}_{t-1} + \beta \left( z_t - z_{t-1} \right)
- \alpha \beta s_t ,
\]
où
\[
\beta \equiv \frac{1}{1+\alpha \gamma}
\]
et
\[
\alpha \equiv \frac{\alpha_2 h}{1 + \alpha_2 b} .
\]

Notre but est d'exprimer la solution pour $\widehat{y}_t$ en fonction de chocs
retardés. Nous avons en retardant l'équation d'une période,
\[
\widehat{y}_{t-1} = \beta \widehat{y}_{t-2} + \beta \left( z_{t-1} - z_{t-2} \right)
- \alpha \beta s_{t-1} .
\]
Substituant dans l'équation initiale, nous obtenons
\[
\widehat{y}_{t} = \beta \left(
\beta \widehat{y}_{t-2} + \beta \left( z_{t-1} - z_{t-2} \right)
- \alpha \beta s_{t-1}
\right)
+ \beta \left( z_{t} - z_{t-1} \right)
- \alpha \beta s_{t}
\]
\[
\Rightarrow
\widehat{y}_{t} = \beta^2 \widehat{y}_{t-2}
+ \beta \left( z_{t} - z_{t-1} \right)
+ \beta^2 \beta \left( z_{t-1} - z_{t-2} \right)
- \alpha \beta s_{t}
- \alpha \beta^2 s_{t-1} .
\]
Si nous retardons l'équation initiale de deux périodes et si nous substituons,
nous obtenons après simpification
\[
\widehat{y}_{t} = \beta^3 \widehat{y}_{t-3}
+ \beta \left( z_{t} - z_{t-1} \right)
+ \beta^2 \left( z_{t-1} - z_{t-2} \right)
+ \beta^3 \left( z_{t-2} - z_{t-3} \right)
\]
\[
- \alpha \beta s_{t}
- \alpha \beta^2 s_{t-1}
- \alpha \beta^3 s_{t-3} .
\]
Procédant de cette façon, nous obtenons
\begin{equation}
\widehat{y}_{t} = \beta^t \widehat{y}_{0}
+ \sum_{n=0}^{t-1} \beta^{n+1}
\left(
z_{t-n} - z_{t-n-1} - \alpha s_{t-n} 
\right) . \label{24}
\end{equation}
Nous appelons la variance asymptotique la variance de l'expression du côté droit
de (\ref{24}) lorsque $t$ tend vers l'infini. Lorsque $t \rightarrow \infty$,
$\beta^t y_0$ tend vers zéro, et nous pouvons écrire
\[
\widehat{y}_{t} =
\beta z_t - \beta (1-\beta) z_{t-1} - \beta^2 (1-\beta) z_{t-2} - \ldots
\]
\begin{equation}
- \alpha \beta s_t - \alpha \beta^2 s_{t-1} - \alpha \beta^3 s_{t-2} - \ldots
\label{25}
\end{equation}
Il faut calculer la variance de cette somme infinie. Nous utilisons la règle
\begin{equation}
\mbox{Var} \left( a X \right) = a^2 \mbox{Var} \left( X \right)
\end{equation}
où $a$ est une constante et $X$ est une variable aléatoire. Une conséquence de
cette règle est que
\begin{equation}
\mbox{Var} \left( - X \right) = \mbox{Var} \left( X \right)
\end{equation}
Nous utilisons aussi
\begin{equation}
\mbox{Var} \left( X_1 + X_2 + \ldots + X_n \right)
= \mbox{Var} \left( X_1 \right) + \mbox{Var} \left( X_2 \right)
+ \ldots + \mbox{Var} \left( X_n \right)
\end{equation}
\textbf{dans le cas} de variables aléatoires qui sont \textbf{indépendantes}, ce
qui est le cas des variables du côté droit de (\ref{25}). Il s'agit d'une somme
infinie, mais avec des coefficients qui déclinent de façon exponentielle. Nous
pouvons écrire
\begin{equation}
\sigma^2_y = \beta^2 \sigma^2_z +
\left(
(1-\beta)^2 \sigma^2_z + \alpha^2 \sigma^2_s
\right)
\left(
\beta^2 + \beta^4 + \beta^6 + \ldots
\right)
\end{equation}
Il est facile de vérifier que
\begin{equation}
\left(
\beta^2 + \beta^4 + \beta^6 + \ldots
\right)
= \frac{\beta^2}{\left( 1-\beta^2 \right)} .
\end{equation}
Donc, nous obtenons
\[
\sigma^2_y = \beta^2 \sigma^2_z +
\frac{\beta^2}{\left( 1-\beta^2 \right)}
\left(
(1-\beta)^2 \sigma^2_z + \alpha^2 \sigma^2_s
\right)
\]
\[
\Rightarrow
\sigma^2_y = \beta^2 
\frac{\left( 1 - \beta^2 \right)}{\left( 1-\beta^2 \right)} \sigma^2_z +
\frac{\beta^2}{\left( 1-\beta^2 \right)}
\left(
(1-\beta)^2 \sigma^2_z + \alpha^2 \sigma^2_s
\right)
\]
\begin{equation}
\Rightarrow
\sigma^2_y = \frac{\beta^2 \left( 2 \left( 1-\beta^2 \right) \sigma^2_z
+ \alpha^2 \sigma^2_s \right)}{\left( 1-\beta^2 \right)} .
\end{equation}

Nous pouvons calculer la variance asymptotique de l'inflation de manière
semblable. Nous avons
\begin{equation}
\widehat{\pi}_t = \beta \widehat{\pi}_{t-1} +
\gamma \beta z_t + \beta s_t .
\end{equation}
Utilisant la même procédure de substitution successive nous obtenons
\begin{equation}
\widehat{\pi}_t = \beta^t \widehat{\pi}_0 +
\sum_{n=0}^{t-1} \beta^{n+1} \left( \gamma z_{t-n} + s_{t-n} \right) . \label{33}
\end{equation}
Notez la ressemblance entre (\ref{33}) et (\ref{24}). Suivant la même procédure
que pour $\sigma^2_y$, nous obtenons
\[
\sigma^2_{\pi} = \left( \gamma^2 \sigma^2_z + \sigma^2_s \right)
\left( \beta^2 + \beta^4 + \beta^6 + \ldots \right)
\]
\begin{equation}
\Rightarrow
\sigma^2_{\pi} = \frac{\beta^2 \left( \gamma^2 \sigma^2_z + \sigma^2_s \right)}
{\left( 1-\beta^2 \right)} . \label{34}
\end{equation}

%\section{Politique de stabilisation et attentes rationnelles}

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Dernière modification : \textbf{04/04/2012}

\end{document}