\documentclass[12pt]{article}
\usepackage{times}
\usepackage{setspace}
\usepackage[dvips]{graphics}
\usepackage[frenchb]{babel}
\usepackage{ucs}
\usepackage[utf8x]{inputenc}
\usepackage{amssymb,amsmath}

\title{ECO3022 : Macroéconomie III \\
Politiques de stabilisation sous attentes rationnelles}

\author{Steve Ambler et Alain Guay\thanks{Ces notes sont en cours de
    développement. J'ai besoin de vos commentaires et de vos suggestions pour
    les améliorer. Vous pouvez me faire part de vos commentaires en personne ou
    en envoyant un message à
    \href{mailto:ambler.steven@uqam.ca}{\texttt{ambler.steven@uqam.ca}}.} \\
  Département des sciences économiques \\
  École des sciences de la gestion \\
  Université du Québec à Montréal\\
  {\copyright} 2012 : Steve Ambler et Alain Guay}

\date{Hiver 2012}

\usepackage[pdftex,bookmarks,colorlinks]{hyperref}

\doublespacing

\begin{document}

\maketitle

\newpage
\raggedright
\tableofcontents

\section{Introduction}

Mon but est de développer des solutions pour certaines équations clés du
chapitre 21. Ces notes ne seront pas très élaborées. Notez que la numérotation
des équations est différente dans ces notes par rapport au chapitre.

\sloppy
\section{Modèle avec attentes rationnelles et absence d'avantage
  informationnel par la banque centrale}

C'est le même modèle que celui du chapitre 20, sauf pour deux changement
d'hypothèse.
\begin{enumerate}
\item Les attentes sont rationnelles.
\item La banque centrale doit choisir sa politique avant d'observer le produit
  ou l'inflation.
\end{enumerate}
À cause de la deuxième hypothèse, la règle de Taylor devient
\begin{equation}
r_t = \bar{r} + h \left( \pi^e_{t,t-1} - \pi^* \right)
+ b \left( y^e_{t,t-1} - \bar{y} \right) .
\end{equation}
Sinon, on utilise l''equivalent de l'équation (11) du chapitre 17 avec
$g=\bar{g}$,
\begin{equation}
y_t-\bar{y} = v_t - \alpha_2 \left( r_t - \bar{r} \right)
\end{equation}
et l'équation d'offre agrégée de court terme du chapitre 18
\begin{equation}
\pi_t = \pi^e_{t,t-1} + \gamma \left( y_t - \bar{y} \right) + s_t .
\end{equation}

On suppose que l'inflation anticipée est l'attente rationnelle de l'inflation
étant donnée la structure du modèle. On suppose que les chocs $s_t$ et $v_t$
sont im\-pré\-vi\-si\-bles, tel que $s^e_{t,t-1} = v^e_{t,t-1} = 0$.

À partir de (3) on a
\[
\pi^e_{t,t-1} = \pi^e_{t,t-1} + \gamma \left( y^e_{t,t-1} - \bar{y} \right)
\]
\[
\Rightarrow \gamma \left( y^e_{t,t-1} - \bar{y} \right) = 0
\]
\begin{equation}
\Rightarrow y^e_{t,t-1} = \bar{y} .
\end{equation}


À partir de (1) et (2) on a
\[
y_t-\bar{y} = v_t - \alpha_2 \left( 
h \left( \pi^e_{t,t-1} - \pi^* \right)
+ b \left( y^e_{t,t-1} - \bar{y} \right)
\right)
\]
\[
\Rightarrow 
y^e_{t,t-1}-\bar{y} = - \alpha_2 \left( 
h \left( \pi^e_{t,t-1} - \pi^* \right)
+ b \left( y^e_{t,t-1} - \bar{y} \right)
\right)
\]
\[
\Rightarrow - \alpha_2 h \left( \pi^e_{t,t-1} - \pi^* \right) = 0
\]
\[
\Rightarrow
\pi^e_{t,t-1} = \pi^*
\]

Maintenant, à partir de (1) on a
\[
r_t = \bar{r} .
\]
En fait, peu importe les valeurs de $b$ et de $h$, la banque centrale garde le
taux d'intérêt réel constant. Maintenant, à partir de (2) on a
\begin{equation}
y_t = \bar{y} + v_t ,
\end{equation}
et à partir de (3) (utilisant la solution pour le produit) on a
\begin{equation}
\pi_t = \pi^* + \gamma v_t + s_t
\end{equation}

Remarques.
\begin{enumerate}
\item Les solutions pour le produit et pour l'inflation ne dépendent pas de $b$
  ou de $h$.
\item Pour cette raison, la politique monétaire est complètement inefficace.
\item Les fluctuations du produit et de l'inflation ne sont pas du tout
  persistantes. Dans la notation du chapitre 19, on a
\[
\hat{y}_t = v_t
\]
et
\[
\hat{\pi}_t = \gamma v_t + s_t .
\]
Les écarts des deux variables sont des fonctions de chocs imprévisibles
seulement.
\item On sait qu'un objectif important d'un modèle macroéconomique d'équilibre
  général est d'expliquer la persistance des fluctuations. Avec attentes
  rationnelles, il faudrait modifier notre modèle afin de réintroduire de la
  persistance. Une stratégie possible serait celle des modèles néo keynésiens
  (New Keynesian), on on suppose que les individus (firmes et/ou ménages ou
  syndicats) fixent leurs prix et/ou leurs salaires pour plusieurs périodes et
  de façon non syncronisée (ce n'est pas tout le monde qui ajuste son prix ou
  son salaire en même temps).
\item On peut rétablir un rôle pour la politique monétaire en supposant que la
  banque centrale a un avantage informationnel vis à vis du secteur privé.
\end{enumerate}

\section{Modèle avec attentes rationnelles et avantage
  informationnel par la banque centrale}

Maintenant, supposons que la banque centrale observe le produit et l'inflation
avant de fixer le taux d'intérêt réel. On a la règle de Taylor du chapitre 20:
\begin{equation}
r_t = \bar{r} + h \left( \pi_t - \pi^* \right)
+ b \left( y_t - \bar{y} \right) .
\end{equation}
Si on insère (7) dans (2) on obtient
\[
y_t - \bar{y} = v_t - \alpha_2 \left( 
h \left( \pi_t - \pi^* \right)
+ b \left( y_t - \bar{y} \right)
\right)
\]
\[
\Rightarrow \left( 1 + \alpha_2 b  \right) \left( y_t - \bar{y} \right)
=
v_t - \alpha_2 h \left( \pi_t - \pi^* \right)
\]
\begin{equation}
\left( y_t - \bar{y} \right)
=
\frac{v_t - \alpha_2 h \left( \pi_t - \pi^* \right)}
{\left( 1 + \alpha_2 b  \right)}
\end{equation}
De (3) on a
\begin{equation}
\left( \pi_t - \pi^* \right) = \left( \pi^e_{t,t-1} - \pi^* \right)
+ \gamma \left( y_t - \bar{y} \right) + s_t .
\end{equation}
Calculant l'espérance de (9) on a
\[
\left( \pi^e_{t,t-1} - \pi^* \right) = \left( \pi^e_{t,t-1} - \pi^* \right)
+ \gamma \left( y^e_{t,t-1} - \bar{y} \right)
\]
\[
\Rightarrow \gamma \left( y^e_{t,t-1} - \bar{y} \right) = 0
\]
\[
\Rightarrow y^e_{t,t-1} = \bar{y} .
\]
Utilisant ce résultat dans (8) et calculant l'espérance de cette équation, on a
\[
\left( y^e_{t,t-1} - \bar{y} \right)
=
\frac{- \alpha_2 h \left( \pi^e_{t,t-1} - \pi^* \right)}
{\left( 1 + \alpha_2 b  \right)} = 0
\]
\begin{equation}
\pi^e_{t,t-1} = \pi^* .
\end{equation}
Insérant ce résultat dans (9) on a
\begin{equation}
\left( \pi_t - \pi^* \right) = 
\gamma \left( y_t - \bar{y} \right) + s_t .
\end{equation}
Les équations (8) et (11) sont deux équations pour les inconnus $\left(
  \pi_t-\pi^* \right)$ et $\left( y_t - \bar{y} \right)$. Insérant (8) dans (11)
on obtient
\[
\left( \pi_t - \pi^* \right) = 
\frac{\gamma v_t - \gamma \alpha_2 h \left( \pi_t - \pi^* \right)}
{\left( 1 + \alpha_2 b  \right)}
+ s_t
\]
\[
\Rightarrow
\left( 1 + \alpha_2 b \right) \left( \pi_t - \pi^* \right) =
\gamma v_t - \gamma \alpha_2 h \left( \pi_t - \pi^* \right)
+ \left( 1 + \alpha_2 b \right) s_t
\]
\[
\Rightarrow \left( 1 + \alpha_2 \left( b + \gamma h \right) \right)
\left( \pi_t - \pi^* \right) =
\gamma v_t + \left( 1 + \alpha_2 b \right) s_t
\]
\begin{equation}
\Rightarrow
\left( \pi_t - \pi^* \right) =
\frac{\gamma v_t + \left( 1 + \alpha_2 b \right) s_t}
{\left( 1 + \alpha_2 \left( b + \gamma h \right) \right)} .
\end{equation}
Cette équation est (34) dans le manuel. Insérant ce résultat dans (8) on a
\[
\left( y_t - \bar{y} \right)
=
\frac{v_t}
{\left( 1 + \alpha_2 b  \right)}
- \frac{\alpha_2 h}
{\left( 1 + \alpha_2 b  \right)}
\frac{\gamma v_t + \left( 1 + \alpha_2 b \right) s_t}
{\left( 1 + \alpha_2 \left( b + \gamma h \right) \right)}
\]
\[
\Rightarrow
\left( y_t - \bar{y} \right)
=
\frac{v_t}
{\left( 1 + \alpha_2 b  \right)}
- \frac{\alpha_2 h}
{\left( 1 + \alpha_2 b  \right)}
\frac{\gamma v_t}
{\left( 1 + \alpha_2 \left( b + \gamma h \right) \right)}
- \frac{\alpha_2 h s_t}
{\left( 1 + \alpha_2 \left( b + \gamma h \right) \right)}
\]
\begin{equation}
\Rightarrow
\left( y_t - \bar{y} \right)
=
\frac{v_t - \alpha_2 h s_t}
{\left( 1 + \alpha_2 \left( b + \gamma h \right) \right)}
\end{equation}
Cette équation est (35) dans le manuel.

Remarques
\begin{enumerate}
\item Il n'y a toujours pas de persistance.
\item Les solutions dépendent maintenant de $b$ et de $h$.
\item Les résultats qualitatifs concernant la politique monétaire optimale sont
  semblables aux résultats du chapitre 20.
\item On a les expressions suivantes pour la variance de l'écart du produit et
  l'écart de l'inflation:
\begin{equation}
\sigma^2_y =
\frac{\sigma^2_v + \left( \alpha_2 h \right)^2 \sigma^2_s}
{\left( 1 + \alpha_2 \left( b + \gamma h \right) \right)^2} ,
\end{equation}
\begin{equation}
\sigma^2_{\pi} =
\frac{\gamma^2 \sigma^2_v + \left( 1 + \alpha_2 b \right)^2 \sigma^2_s}
{\left( 1 + \alpha_2 \left( b + \gamma h \right) \right)^2} .
\end{equation}
\item Il est clair que s'il y a des chocs de demande seulement, des valeurs
  élevées de $b$ et de $h$ vont réduire la variabilité à la fois de l'écart du
  produit et de l'écart de l'inflation. Comme dans le chapitre 20, il n'y a pas
  d'arbitrage (compromis) entre la variabilité du produit et la variabilité de
  l'inflation.
\item S'il y a des chocs d'offre seulement, une valeur très élevée de $h$ va
  permettre de stabiliser l'inflation. Si la valeur de $\kappa$ dans la fonction
  de perte sociale est très élevée, ce sera la politique optimale.
\item S'il y a des chocs d'offre seulement, une valeur très élevée de $b$ va
  permettre de stabiliser le produit. Si la valeur de $\kappa$ dans la fonction
  de perte sociale est très faible, ce sera la politique optimale.
\item Il y a, face aux chocs d'offre, un arbitrage (compromis) entre stabilité
  de l'inflation et stabilité du produit.
\item En termes \textbf{quantitatifs}, si on calculait les valeurs optimales de
  $b$ et $h$ en minimisant la fonction de perte sociale, les résultats ne
  seraient pas identiques entre le modèle avec attentes rationnelles et le
  modèle avec attentes statiques. 
\end{enumerate}

\vspace{.25in} \noindent
Dernière modification : \textbf{20/03/2012}

\end{document}